数学大学
泰勒（Taylor）公式
微积分 · 第四章 微分中值定理和导数的应用
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泰勒（Taylor）公式
微积分 · 第四章 微分中值定理和导数的应用
泰勒(Taylor) 公式(1)
泰勒公式用多项式局部逼近函数：在一点附近用「值+一阶+二阶……」展开。
逼近思想
多项式好算，用它近似复杂函数
系数来源
各阶导数决定各次项系数
泰勒(Taylor) 公式(2)
两种余项各有用途：佩亚诺余项管局部定性，拉格朗日余项管误差定量。
佩亚诺余项
余项是比最高次项更高阶的无穷小
拉格朗日余项
余项写成某阶导数在中间点的取值，可估误差
泰勒(Taylor) 公式(3)
常用麦克劳林展开要背熟：e^x、sin x、cos x、ln(1+x)、(1+x)^α。
五大展开
指数、三角、对数、幂函数的展开式
应用
求极限、证明不等式、近似计算
泰勒展开自测
点击作答
sin x 在 x=0 处的麦克劳林展开，x 的三次项系数是多少？
本节要点
- ✓泰勒公式：多项式局部逼近函数
- ✓佩亚诺余项定性，拉格朗日定量
- ✓五大麦克劳林展开要熟记
延伸主题：默写五个常用展开式用泰勒展开求一个极限
课后思考
先自己回答，再展开参考答案——能讲出来才算真懂。
1泰勒展开为什么能求「0/0 型」极限？
参考答案把分子分母都展开成多项式，同阶项相除后极限一目了然；比洛必达法则更高效的是一次展开可反复使用，且能看清各阶贡献。
2展开到几阶才够用？
参考答案看目标精度：求极限时展开到分子分母首个不相消的阶；估误差时用拉格朗日余项估出上界再决定阶数。原则是「展开到相消尽、余项可忽略」。
3泰勒公式与微分近似是什么关系？
参考答案一阶泰勒展开就是微分近似 f(x)≈f(x₀)+f′(x₀)Δx；泰勒公式是它的高阶推广，阶数越高逼近越好。微分是泰勒的零阶特例，泰勒是微分的完整版。