（第二部分：线性系统的时域理论）：系统的状态空间描述（二）、系统的运动分析及稳定
数学大学
（第二部分：线性系统的时
线性系统理论 · 第三周（第二部分：线性系统的时域理论）：系统的状态空间描述（二）
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（第二部分：线性系统的时
线性系统理论 · 第三周（第二部分：线性系统的时域理论）：系统的状态空间描述（二）
LST1-5-1 线性定常系统的
特征结构 = 特征值 + 特征向量：特征值定衰减快慢，特征向量定模态方向。
特征值
A 的特征值即各模态的时间常数来源
特征向量
规定各模态在状态空间中的方向
LST 1-6-1 线性定常系统的
坐标变换 x̄=Px 不改变系统本质：只换一组状态空间坐标。
变换矩阵
P 非奇异即可作为坐标变换
形式变本质不变
A、B、C 随之变换，特性保留
LST1-6-2 线性定常系统的
特征多项式在变换下不变：特征值是系统的固有属性。
特征多项式不变
det(sI−A) 与坐标选取无关
不变量家族
特征值、迹、行列式都不变
LST1-6-3 线性定常系统的
传函阵的坐标不变性：外部描述与坐标选取无关。
G(s) 不变
变换后传递函数阵完全相同
解释
输入输出关系是物理事实，与坐标无关
LST1-6-4 线性定常系统的
对角规范形：A 可对角化时变换到特征向量坐标，模态彻底解耦。
对角化
P 由特征向量排成，A 化为对角阵
解耦
各状态方程互不耦合，解一目了然
LST1-6-5 线性定常系统的
特征值有重根时化约当规范形：约当块处理不可对角化情形。
约当块
对角线上特征值、上方一条 1
重根处理
几何重数不足时用约当块拼对角
LST2-1-1 线性连续定常系
状态方程的解 = 齐次解 + 特解：自由响应加零状态响应。
齐次解
由初始状态引起，形如 e^{At}x₀
零状态响应
由输入引起，卷积形式表达
LST2-2-1 状态转移矩阵及
状态转移矩阵 Φ(t)=e^{At}：把任意初始状态搬到 t 时刻。
定义
Φ(t) = L⁻¹[(sI−A)⁻¹] = e^{At}
角色
解的核心构件，描述状态转移规律
LST2-2-2 状态转移矩阵及
转移矩阵三条属性与两种算法：求逆、拼接，拉氏法与凯莱-哈密顿法。
属性
Φ(0)=I；Φ(t₁+t₂)=Φ(t₁)Φ(t₂)；Φ 可逆
算法
拉氏反变换法或凯莱-哈密顿有限项展开
LST2-3-1 脉冲响应矩阵
脉冲响应矩阵是时域的传递函数阵：G(t)=CΦ(t)B+Dδ(t)。
表达式
第 ij 元即输入 j 脉冲到输出 i 的响应
与 G(s) 对应
G(t) 的拉氏变换就是传递函数阵
LST2-4-1 系统的模态
每个特征值对应一个模态：模态是状态空间里的基本运动形态。
模态形态
e^{λt} 或 t·e^{λt}（重根情形）
叠加成响应
总响应是各模态按系数叠加
LST2-5-1 系统的外部稳定
外部稳定性（BIBO）：有界输入必产生有界输出。
定义
只看输入输出，不问内部状态
判据
脉冲响应矩阵绝对可积
LST2-6-1 线性定常系统的
内部稳定看特征值：A 的全部特征值位于左半平面即渐近稳定。
判据
Re(λᵢ) < 0 对全部特征值成立
内外关系
内部稳定必蕴含外部稳定，反之不然
本节要点
- ✓特征结构：特征值 + 特征向量
- ✓坐标变换不改变系统本质
- ✓解 = Φ(t)x₀ + 卷积项
- ✓内部稳定 ⇔ 特征值全在左半平面
延伸主题：手算一个 2×2 系统的 e^{At}构造内外稳定性不一致的例子
课后思考
先自己回答，再展开参考答案——能讲出来才算真懂。
1为什么说特征值是系统的「固有属性」？
参考答案坐标变换不改变特征多项式，特征值在任意状态坐标下都相同；它们决定响应的衰减速率与振荡频率，是系统物理本性在数学上的表达。
2外部稳定为什么不能保证内部稳定？
参考答案不可控或不可观的内部模态不会出现在输入输出行为中，它们可以发散而外部毫无察觉。BIBO 只约束「看得见的」，内部稳定要求「看不见的」也稳定。
3约当规范形解决什么问题？
参考答案当 A 的线性无关特征向量不足、无法对角化时，约当形以「特征值对角线 + 1 的超对角线」给出最接近对角的规范结构，重根模态的 t·e^{λt} 行为由此显现。