数学大学
换元积分法
微积分 · 第六章 积分法与反常积分
按 空格/→ 演示下一步
全部页面点击任意一页，跳回舞台从这页播放
数学大学
换元积分法
微积分 · 第六章 积分法与反常积分
换元积分法(1)
第一类换元（凑微分）：把被积式凑成 f(φ(x))·dφ(x) 的形状。
凑微分
找到内函数，把 dx 凑成 d(内函数)
常用凑法
x dx→d(x²/2)、dx/x→d(ln x) 等成对记
换元积分法(2) partA
第二类换元（代入法）：设 x=φ(t) 化简被积函数，算完再回代。
三角代换
根号套平方差时用 sin、tan、sec 代换
回代还原
积分结果必须换回原变量才算完成
换元积分法(2) partB
换元的注意事项：单调区间保证反函数存在，限元不越界。
单调要求
代换函数在区间上单调且可导
上下限同步
定积分换元时上下限一并替换
本节要点
- ✓凑微分：认形状配对常见组合
- ✓第二类换元：三角代换去根号
- ✓定积分换元要同步换限
延伸主题：练十道凑微分做一道三角代换完整题
课后思考
先自己回答，再展开参考答案——能讲出来才算真懂。
1凑微分凑不出来时，还有什么办法？
参考答案反向思考用第二类换元：主动设 x 为某个新变量的函数（三角代换、根式代换等），把难积的被积函数化简。凑不动就代进去换，两类换元互为补充。
2定积分换元为什么必须同步换上下限？
参考答案换元后积分变量已经换成 t，积分区间随之变为 t 的对应区间；结果直接按新限计算，无须也不应再回代原变量。忘换限是最常见的定积分错误。
3三角代换如何选代换形式？
参考答案看根号内的符号：a²−x² 设 x=a·sin t；a²+x² 设 x=a·tan t；x²−a² 设 x=a·sec t。目标是利用三角恒等式把根号彻底去掉。