波的描述

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✦ 波的描述物理波的描述横波
机械波波形图波速公式横纵波

波的描述

掌握波形图、相位与波速公式，看清横波纵波的传播差异

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机械波波形图波速公式横纵波

波的描述

掌握波形图、相位与波速公式，看清横波纵波的传播差异

1第 1 页 · 波的描述

利用波形图判断波的传播方

上一页我们用 y-x 图把波的「形状」画了出来。但拿到一张静态波形图，我们最常问的是：这道波往哪边跑？这一页就解决这个问题。

上下坡法
沿传播方向看：上坡段质点向下运动，下坡段质点向上运动
微平移法
把波形沿传播方向微移一小段，新位置即下一刻该质点的位移
纵波要转换
纵波波形图纵轴是密度，不是位移；先判疏密中心走向再还原振动
传送带上的凸起对应 →波形沿传播方向平移

传送带往哪边跑，凸起就往哪边移；波形也是一样

y(x,t)=f(x−vt),v>0⇒波形向 +x 平移y(x,t) = f(x - vt),\quad v>0 \Rightarrow \text{波形向 }+x\text{ 平移}
2第 2 页 · 利用波形图判断波的传播方

横波

前一页用波形图追踪各质点的运动，这一页继续比较：质点的振动方向，究竟与波的传播方向有什么关系？

垂直振动
质点的振动方向与波的传播方向垂直，这是横波的判据。
扰动传播
质点只在平衡位置附近振动，能量和波形向前传播，物质不随波整体迁移。
绳波实例
抖动绳端会形成上下移动的波形；质点上下运动，波形沿绳向另一端传播。
地震S波
地震中的S波属于横波；它不能穿过液态外核，可辅助判断地球内部结构。
传播条件
机械横波依赖剪切恢复力，理想液体和气体不能传播；电磁波可在真空中传播。
抖动绳子对应 →横波

手让一小段绳子上下运动，对应该处质点振动；沿绳传走的波形，对应扰动传播。

3第 3 页 · 横波

波的图像（波形图）

上一页我们用波形图判断了横波的传播方向，但这张图本身到底是什么？这页我们把它彻底拆开看清楚。

波形图本质
y 轴是质点位移，x 轴代表位置或时间——把看不见的波画到纸上
空间波形图 y-x
某一瞬间，沿传播方向各质点位移的快照，能读出波长和振幅
时间波形图 y-t
固定一个位置，看该质点位移随时间变化，能读出周期
典型应用
结合传播方向判断波形如何移动，是上一页方法的图像基础
体育场人浪拍照对应 →空间波形图 y-x

同一瞬间不同座位手举高度不同——对应各质点位移

y=Asin⁡(2π(xλ−tT)+φ)y = A\sin\left(2\pi\left(\frac{x}{\lambda} - \frac{t}{T}\right) + \varphi\right)
4第 4 页 · 波的图像（波形图）

振动图像

上一页我们给整列质点拍了一张'合照'——波形图。今天把镜头拉近到单个质点，给它拍一段'录像'，这就是振动图像。

振动图像
单个质点位移 y 随时间 t 变化的 y-t 图像
与波形图的区别
波形图横轴是空间 x，振动图横轴是时间 t
可读物理量
周期 T、振幅 A、某时刻位移、振动方向（看曲线斜率正负）
与波的对应
振动周期=波的周期；振幅相同；不同位置振动图像只是初相位不同
湖面一个浮标随波浪起伏对应 →振动图像

横轴是时间，记录这一个点的位移变化全过程

y=Asin⁡(ωt+φ)y = A\sin(\omega t + \varphi)
5第 5 页 · 振动图像

正弦波（简谐波）

波形图上画的不只是抽象曲线——它对应介质里真实的振动。这一页看波形中最规则的一种：正弦波，也叫简谐波。它是描述一切复杂波的基础。

简谐波定义
介质每个质点都做简谐振动所形成的波；波形呈单一的正弦/余弦曲线
双重周期性
对时间以T为周期（每点重复运动）；对空间以λ为周期（整列波形重复）
五个参数
振幅A、周期T、波长λ、初相φ₀、波速u；满足ω=2π/T，u=λ/T
傅里叶主角
任意复杂波可展开为不同频率简谐波之和——Fourier 分析让正弦波成为研究一切波的工具
典型实例
单色光、纯音、交流电都近似简谐波；实际波源的振动都不严格符合简谐
化学元素对应 →正弦波（简谐波）

复杂波像化合物，正弦波像构成它的元素——能拆分也能重组出任意波形

y(x,t)=Asin⁡ ⁣[2π ⁣(tT−xλ)+φ0]y(x,t)=A\sin\!\left[2\pi\!\left(\dfrac{t}{T}-\dfrac{x}{\lambda}\right)+\varphi_0\right]
6第 6 页 · 正弦波（简谐波）

波的频率

上一页你看过正弦波形图了——那条曲线每次从原点出发又回到原点，叫一个周期 T。而频率 f = 1/T，正是告诉你『一秒内能完成几个这样的完整周期』。

定义
单位时间内完成完整周期性变化的次数，反映振荡快慢
与周期互为倒数
f = 1/T，T 越大 f 越小；二者描述同一周期性
单位 Hz
1 Hz = 1次/秒；常用 kHz(10³)、MHz(10⁶)、GHz(10⁹)
从波形图读取
统计完整波数 N，除以对应时间 t 得 f = N/t
与波速波长的关系
v = fλ；v 由介质决定，f 由波源决定，λ 由前两者决定
操场跑圈对应 →波的频率、周期、波长、波速

圈长=λ，圈时=T，每秒圈数=f；总速度v=fλ，四量自洽

f=1T,v=fλf = \dfrac{1}{T},\quad v = f\lambda
7第 7 页 · 波的频率

波长

你已经见过正弦波的完整波形——一个完整周期在空间上展开到底有多长？不是凭感觉，而是有个明确的物理量来刻画它。

定义
一个完整周期在介质中占据的空间长度，即波的形状重复一次所跨过的距离
符号与单位
λ（lambda），国际单位米（m），常用 nm、μm、km 等
波形图上的识别
相邻两个同相位点（如波峰-波峰、波谷-波谷）之间的距离
与频率、波速的关系
波长 = 波速 / 频率，波速由介质决定
典型应用
电磁波按波长分：无线电波、微波、红外、可见光、紫外、X 射线、γ 射线
水面相邻两个波峰的距离对应 →波长

都是「同一种状态在空间上重复一次」所跨过的距离

λ=vf\lambda = \dfrac{v}{f}
8第 8 页 · 波长

波速

前面已经知道波长描述波的空间周期、频率描述时间周期。一个很自然的问题：波每秒跑多远？把这两个量乘起来，就得到描述波传播快慢的物理量——波速。

定义
波在介质中单位时间内传播的距离，v = λf = λ/T
由介质决定
波速由介质的弹性与密度等性质决定，与频率、波长无关
波速对比
同一介质中，不同类型的波速不同；同一波在不同介质中速度也不同
典型数值
空气中声波约340 m/s，水中声波约1500 m/s，真空中光速 3×10⁸ m/s
典型应用
声呐测距、地震波勘探断层、光纤通信延时补偿都依赖精确波速
选手在不同跑道上的成绩对应 →波速由介质决定

选手快慢由跑道材质（塑胶/草地/土地）决定，与摆臂多快无关——介质才是波速的真正决定者

v=λf=λTv = \lambda f = \frac{\lambda}{T}
9第 9 页 · 波速

本节要点

  • ✓波形图横轴是空间，振动图像横轴是时间——别混
  • ✓v=λf 串起波长、频率、波速三者的定量关系
  • ✓波形沿传播方向平移：上坡下振，下坡上振
  • ✓简谐波才有 y=Acos(ωt±kx+φ) 的严格表达式
  • ✓周期频率由波源决定，波速由介质决定
延伸主题：波的干涉与叠加机械波与电磁波对比波的反射与折射
10第 10 页 · 本节要点

课后思考

先独立思考三个问题，再看参考答案。开放题没有唯一答案，思路比结论更重要。

1波形图描述的是某时刻所有质点的位置，还是某质点随时间的变化？为什么容易混淆？

参考答案波形图是某瞬间所有质点位移的'快照'（横轴是位置x），振动图像是某质点位移随时间的变化（横轴是时间t）。区别在横轴物理意义不同，这是最常考也最容易错的地方。

2已知横波沿x轴正方向传播，某质点此刻正向上运动，你能由此推断波形图的局部形状吗？

参考答案波向右传意味着下一时刻波形整体右移。该质点下一时刻将取代其右侧质点现在的位置——若右侧更高，则它向上运动。结论：它正处于'上坡'段（沿传播方向看）。

3波速由介质决定，频率由波源决定。如果同一列波从空气传入水中，波长会变吗？为什么？

参考答案会变。频率f由波源不变，水中波速v变大，由λ=v/f知波长变长。同一个振源在不同介质中波形疏密不同——这是机械波区别于电磁波的重要特性。

11第 11 页 · 课后思考
波的描述 · 知识图解