初中学过平面直角坐标系：点用 (x, y) 两个数就能定位。但现实中我们生活在三维空间——比如描述一盏吊灯，光有长和宽不够，还得知道它离地多高。

中心是坐标系整体，三条分支即三大构成要素

上一页提到三要素里的「坐标轴」还没展开——平面里两条就够了，三维为什么必须三条？它们之间又该满足什么关系，才能让 (x,y,z) 唯一对应一个点？

上一页竖起了三条坐标轴。现在两两轴张成平面——就像房间里三堵互相垂直的墙，把整个空间切成八个角落，每个角落就是一个卦限。

坐标系建好了，8 个卦限也分清了。但一个具体的点怎么被'定位'？这就要用到它的三元组地址 (x, y, z)。

平面坐标用一对数定位一个点，空间坐标需要三个。它们不只是「多了一个数」，坐标轴、坐标平面、区域划分都发生了变化。

二维平面上，向量对应唯一的有序对 (Δx, Δy)。把这条规律搬到三维空间——从两数扩展为三数。本页要说清：空间里的向量，怎么被一组三个数「钉死」。

先确定起点和终点，再把两端坐标对应项作差，最后依 x、y、z 顺序得到三个坐标分量。

上一页我们用 $(a_1,a_2,a_3)$ 描述了空间任意向量。这页看三种'特殊身份'——单位向量、方向向量、共线向量——它们的坐标各有什么独特约束？

已知向量AB = (2, -1, 3)，点A坐标为(1, 4, -2)，则点B的坐标为？

向量加减，落到坐标就是三个分量各自做加减——本质是把三维拆成三个一维。

数乘的核心是标量逐分量相乘，每一步都关乎结果的正确性。

把向量写成坐标，代入分配律展开，靠基向量的正交性化简，得到分量乘积之和。

三大运算的坐标公式一览，从同一坐标出发，三种操作各有结构。

设 a=(2,-1,3)，b=(1,4,-2)，则 (a+b)·b 的值为？

从二维勾股定理出发，两次勾股升维到三维距离。

沿流程从上往下读，每往下一格就剥开一层直角三角形，看勾股定理如何嵌套。

上一节我们推导出空间两点距离公式 d=√[(x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²+(z₂-z₁)²]。但若两个点恰好落在与坐标面平行的同一平面上，必有一坐标相同——公式会大幅简化。

已知 A(2, -3, 1) 和 B(-4, 1, 3), 则 |AB| = ?

建坐标系不是随手一指，有一套讲究的策略。

把"方向向量共线"翻译成坐标语言，是坐标法证明平行的核心套路。

用坐标法证垂直，核心是把几何关系翻译成数量积为零的代数等式。

用坐标求两向量夹角，按五步走，每步各管一段。

用坐标法求点到直线、点到平面的距离，全程只需四步流水线。

• ✓建系选位决定复杂度，对称处优先立轴
• ✓右手法则是坐标方向的符号底线
• ✓数量积为零是垂直的最优代数判据
• ✓距离公式统一了点到点与点到面的度量
• ✓平行判据是向量共线，与二维完全一致

先独立思考，再对照参考答案——三个问题层层递进。