数学大学
多元函数的一阶可微性
多元微积分（先修课） · 第三章 多元函数的微分及其应用
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数学大学
多元函数的一阶可微性
多元微积分（先修课） · 第三章 多元函数的微分及其应用
多元函数的可微性与全微分
全微分是全增量的线性主部：曲面局部当成平面看。
全增量
Δz = f(x+Δx, y+Δy) − f(x,y)
全微分
dz = f_x dx + f_y dy，线性主部
多元函数可微性的判定
可微判定链条：偏导存在只必要；偏导连续才是充分条件。
必要条件
可微则各偏导存在且连续可推偏导存在
充分条件
偏导连续 ⇒ 可微；偏导存在推不出可微
多元可微函数全微分的性质
全微分满足四则与复合规则：微分运算法则与导数平行。
线性性
和差的微分等于微分的和差
一阶微分形式不变性
无论变量是否自变量，形式一致
全微分与偏导数的计算
先求各偏导再组装全微分：公式化操作，注意代入点的次序。
组装
dz = f_x dx + f_y dy
在点求值
先把偏导表达式求出，再代入点坐标
隐式函数的可微性与偏导数
方程确定的隐函数也能求偏导：隐函数求导公式一除即得。
一个方程
F=0 确定 y(x)，∂y/∂x = −F_x/F_y
存在条件
F 连续可微且 F_y ≠ 0
本节要点
- ✓全微分 = 全增量的线性主部
- ✓偏导连续 ⇒ 可微 ⇒ 偏导存在
- ✓隐函数偏导 = −F_x/F_y
延伸主题：验证一个可微实例用公式求一个隐函数偏导
课后思考
先自己回答，再展开参考答案——能讲出来才算真懂。
1可微、偏导存在、偏导连续三个条件的强弱关系是什么？
参考答案偏导连续最强，可推出可微；可微推出偏导存在。反向都不成立：偏导存在推不出可微，可微推不出偏导连续。记住这条单向链，判断题就不慌。
2一阶微分形式不变性「不变」在哪里？
参考答案无论 u、v 是自变量还是中间变量，dz = f_u du + f_v dv 形式都成立。这让复合函数求微分可以逐层直接写，不必先分清谁是自变量。
3隐函数求导公式中为什么是负号「−F_x/F_y」？
参考答案对方程 F=0 两边求全微分得 F_x dx + F_y dy = 0，移项解出 dy/dx = −F_x/F_y。负号来自移项，代回验证可防符号错误。