数学大学
多元连续函数
微积分——多元函数与重积分 · 第一章 多元函数微分学
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多元连续函数
微积分——多元函数与重积分 · 第一章 多元函数微分学
向量的内积与长度-1
内积把两个向量映成一个数：长度与夹角都由它定义。
内积公式
a·b = a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃
长度
|a| = √(a·a)
向量的内积与长度-2
内积的性质：交换、线性、正定，并给出柯西不等式。
柯西不等式
|a·b| ≤ |a||b|
三角不等式
|a+b| ≤ |a|+|b| 由此推出
R^n中的点列的收敛性
点列收敛 = 每个坐标分量数列都收敛。
坐标收敛
Pₙ→P ⇔ 各分量分别收敛
意义
n 元问题化为 n 个一元问题
内点、外点、边界点-1
点与集合的位置关系：以该点为中心的小圆盘是否整个落在集合内。
内点
存在邻域整个含于集合
外点
存在邻域整个在集合之外
内点、外点、边界点-2
边界点：任何邻域都同时含有集合内与集合外的点。
边界点
任意小邻域横跨集合内外
边界可属可不属
边界点未必是集合的成员
开集、闭集、区域
开集全由内点组成；闭集包含全部边界点；连通开集叫区域。
开集
每点都是内点
闭集
补集为开集，即含全部边界点
区域
连通开集，可含边界称闭区域
多元函数的有关概念
多元函数是 n 维点到实数的映射：定义域是平面或空间中的点集。
定义
f: D⊆Rⁿ → R
图像
二元函数图像是三维曲面
二重极限的定义
二重极限用点距刻画：P 任意方式趋于 P₀ 时 f(P) 趋于 A。
ε-δ
任意 ε 存在 δ，0<|PP₀|<δ 时 |f−A|<ε
任意路径
所有趋近路径结果一致才存在
二重极限的例题
例题示范：用夹逼或极坐标求二重极限，用双路径证不存在。
存在例
含 r² 因子的分式经极坐标压出零
不存在例
沿 y=kx 极限依赖 k 即不存在
二次极限的定义
二次极限是「先对一个变量取极限，再对另一个」的累次过程。
顺序极限
lim_x lim_y f(x,y)，有先后次序
与二重极限之别
二次极限存在不代表二重极限存在
连续与一致连续的定义
连续是逐点的，一致连续的 δ 对整个集合统一适用。
逐点连续
每个点的 δ 可以各不相同
一致连续
一个 δ 通吃全集合
连续函数的性质-1
多元连续函数的性质：四则运算复合保持连续。
运算封闭
连续函数的和差积商（分母非零）连续
复合保持
连续函数的复合仍连续
连续函数的性质-2
有界闭区域上的连续函数：有界、达到最值、一致连续。
最值定理
必取得最大值与最小值
一致连续
闭区域上自动一致连续
连续函数的性质-3
介值定理在多元的推广：连续函数在连通区域上取遍中间值。
介值性
连通集上的像区间连通
应用
判断方程在区域内有解
本节要点
- ✓内积定长度，坐标收敛化多元为一元
- ✓开闭集与区域是定义域的语言
- ✓二重极限要求任意路径一致
- ✓有界闭区域上连续函数取到最值
延伸主题：判别一组点的内外边界归属算两个二重极限
课后思考
先自己回答，再展开参考答案——能讲出来才算真懂。
1为什么有界闭区域上连续函数能取到最值，开区域就未必？
参考答案开区域的边界不属于集合，最值可能「卡在」趋于边界却取不到的位置（如开区间上的峰值在端点）。闭区域包含边界且紧致，连续函数的最值必然被实际取得。
2一致连续比逐点连续强在哪？实践中如何获得？
参考答案一致连续的 δ 与点无关，对整个区域统一有效，不会在密集处失效。有界闭区域上的连续函数自动一致连续（Cantor 定理），无需额外验证。
3二次极限与二重极限互不蕴含， 分析问题时应优先检查哪个？
参考答案应优先检查二重极限（任意路径一致）；它是几何与物理上自然的「趋近」概念。二次极限只在特殊计算（迭代求极限）中出现，且两者都存在时也未必相等，不可混用。