β衰变

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β衰变弱相互作用中微子能谱

β衰变

看清β⁻/β⁺机制、中微子命运与连续能谱的物理根源

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β衰变弱相互作用中微子能谱

β衰变

看清β⁻/β⁺机制、中微子命运与连续能谱的物理根源

1第 1 页 · β衰变

什么是β衰变

碳-14测年、碘-131治甲状腺——这些都用到了β衰变。但有个问题：原子核里只有质子和中子，那发射出来的电子是从哪儿冒出来的？

本质是弱相互作用

强、电磁力之外的第三种基本力，作用距离小于1飞米

中子↔质子转化

β⁻衰变中中子变质子；β⁺衰变中质子变中子

伴随发射轻子

β⁻产生电子e⁻与反中微子ν̄ₑ；β⁺产生正电子e⁺与中微子νₑ

守恒律

质量数A不变（核子总数守恒），原子序数Z变化±1

化学反应产生新分子对应 →β衰变产生电子

旧物质消失的瞬间，新物质被"创造"出来，能量来自质量亏损

n \to p + e^- + \bar{\nu}_e \quad (\beta^-)\\p \to n + e^+ + {\nu}_e \quad (\beta^+)

2第 2 页 · 什么是β衰变

中微子假说

β衰变里能量神秘失踪，泡利如何用一个大胆假设救下能量守恒定律？

能谱异常

β粒子能量从零到最大连续分布，按守恒律本应取固定值

守恒困境

玻尔主张微观尺度能量可以不守恒，但代价是动摇整个物理学

新粒子假说

泡利假设存在电中性、几乎无质量、穿透力极强的未知粒子

预言与验证

新粒子分走一份能量，连续能谱就有了自然解释

3第 3 页 · 中微子假说

中微子的性质

泡利提出中微子假说，但 26 年后科学家才真正'逮到'它——它为何如此难抓？因为四大性质都太'低调'。

质量：极小但不为零

1998 年振荡实验证实有质量，仅<1 eV/c²，约电子的五十万分之一

电荷：严格中性

不带任何电荷，对电磁场毫无反应

穿透力：极强

几乎不与物质反应，可轻易穿透整个地球

只参与弱相互作用

不参与电磁与强相互作用，仅通过弱力与物质发生反应

隐身特工对应 →中微子

有体重=有质量、不带电=无电磁痕迹、穿墙=穿透力、只听暗号=仅弱力响应

4第 4 页 · 中微子的性质

β-衰变

中微子的存在解决了β⁻衰变中能量看似不守恒的谜团。现在我们聚焦反应本身：一个中子如何精确地变成质子、电子和反中微子。

中子嬗变为质子

核内束缚中子转变为质子，核电荷Z→Z+1，质量数A不变

发射β⁻粒子

高速电子即时在核内产生并被抛射，并非来自原子轨道

同步释放反中微子

带走剩余能量与动量，保证能动量严格守恒

三大守恒律

电荷(0=+1-1+0)、轻子数(0=0+1-1)、重子数(1=1+0+0)全部成立

会计账目对应 →β⁻衰变守恒

每条'账目'(守恒量)借贷必须相等，电荷、轻子数、重子数一项不差

n \rightarrow p + e^- + \bar{\nu}_e \quad Q = (m_n - m_p - m_e)c^2 \approx 0.782 \,\text{MeV}

5第 5 页 · β-衰变

β+衰变

上一页 β- 衰变里一个中子变成了质子。那反过来——核里的质子能不能变成中子？可以，这就是 β+ 衰变。

基本反应

核内一个质子转化为中子

产物粒子

正电子（β+）+ 中微子 νₑ

能量门槛

母核须重于子核至少 2mₑc²

核电荷变化

Z 减 1，A 不变

足球队员换号对应 →β+衰变

质子'换号'变中子，球衣号(Z)-1；多出的'能'被正电子+中微子带走

p \rightarrow n + e^+ + \nu_e

6第 6 页 · β+衰变

轨道电子俘获

β+ 衰变要"凭空造"一个正电子，能量门槛高达 1.022 MeV。如果核里质子虽多但没那么多能量，还有另一招：直接把身边已经绕着的电子抓进核里用。这就是轨道电子俘获。

核心反应

核内一个质子吸收一个核外电子，变成中子，同时释放一个中微子

电子来源

优先抓 K 壳层（最内层）电子，因其离核最近、波函数在核内重叠最大

中微子种类

发出的是电子中微子 νₑ，不是反中微子——与 β+ 的关键区别

能量优势

不必凭空造正电子（省 1.022 MeV），结合能还帮忙，所以能量不足时 EC 占优

实验信号

内层空位被外层电子填补，发出特征 X 射线，或打出俄歇电子

黑洞吞下最内侧的恒星对应 →原子核俘获 K 壳层电子

K 壳层电子波函数在核内重叠最大，相当于离'嘴'最近，最容易被'吞'

p + e^- \to n + \nu_e

7第 7 页 · 轨道电子俘获

三种类型对比

β⁻ 和 β⁺ 只差一个符号，但核内机制、母核变化、能量门槛完全不同——这是最易混淆的一对。

β⁻ 衰变

机制：核内中子 → 质子 + e⁻ + ν̄
母→子：n 偏多，Z → Z+1，A 不变
产物：电子（β⁻粒子）+ 反中微子
能量门槛：质量差 > 0 即可自发

β⁺ 衰变

机制：核内质子 → 中子 + e⁺ + ν
母→子：p 偏多，Z → Z-1，A 不变
产物：正电子（β⁺粒子）+ 中微子
能量门槛：质量差 > 2mₑc² ≈ 1.022 MeV

β⁻ 是中子→质子，β⁺ 是质子→中子；后者要凭空造出正电子，门槛高出 1.022 MeV，不够时改走轨道电子俘获。

8第 8 页 · 三种类型对比

费米理论的核心步骤

费米把β衰变拆成五步：先假设相互作用形式，再写哈密顿量，最后用黄金法则算出衰变率。

四费米子接触

中子、质子、电子、中微子在同一点发生相互作用

费米哈密顿量

用耦合常数G_F和流-流耦合形式写出跃迁矩阵元

黄金法则

衰变率Γ等于矩阵元模方乘以末态态密度

末态相空间

电子和中微子在能量动量空间的可及区域

积分得谱形

对电子能量积分得到衰变概率与能谱公式

9第 9 页 · 费米理论的核心步骤

选择定则

前面把β衰变概率写成费米矩阵元。但不是所有跃迁都'想发生就能发生'——就像原子光谱里不是任意两个能级之间都有谱线，β衰变也有自己的门禁规则，决定哪些快、哪些慢。

角动量守恒

核自旋变化 ΔI 等于轻子（电子+中微子）的总角动量

宇称守恒

ΔP = (-1)^l，由轻子轨道角动量 l 决定

允许跃迁

l = 0，ΔI = 0 或 1，宇称不变，最常见最快

禁戒跃迁

l ≥ 1，按级数升高概率降低，每级 log ft 约增 3–4

原子光谱选择定则对应 →β衰变选择定则

都源于对称性守恒；按角动量携带量分级；越禁戒概率越低

\Delta P = (-1)^l

10第 10 页 · 选择定则

β能谱与库里厄图

从β衰变到连续能谱，再到库里厄图把它变直线——看能量如何被两个粒子瓜分

图解渲染中…

A2：母核与子核质量差对应的衰变总能量，是固定值E2：f(Z,E) 是费米函数，反映库仑场对电子的修正G1：直线在能量轴上的截距就是电子的最大动能Q

11第 11 页 · β能谱与库里厄图

衰变常数与比较半衰期

从库里厄图我们能拿到端点能量与费米耦合常数。但单看半衰期没法横向比较不同β衰变——能量释放不同，相空间就不同。需要一个「标准化」指标。

f：相空间因子

只依赖原子序数 Z 和终点动能 E₀，反映统计权重与能量释放

t₁/₂：半衰期

实验直接测量，受核矩阵元与相空间共同影响

ft值：标准化半衰期

f × t₁/₂，扣除相空间贡献，剩下的差异几乎全来自核矩阵元

log(ft) 跃迁类型

超允许≈3.1，允许4-7，一级禁戒6-10，禁戒级数越高越大

汽车百公里加速对应 →ft值

加速时间 = 发动机 × 车重风阻。除去后者差异，剩下发动机本事。ft除掉相空间后，剩下核矩阵元

ft_{1/2} = f(Z, E_0)\,\cdot\,t_{1/2}

12第 12 页 · 衰变常数与比较半衰期

β衰变知识小结

✓β衰变本质是核内质子-中子相互转化
✓三种类型由核素质量关系决定，各有能量阈值
✓费米理论以弱作用哈密顿量统一描述三类过程
✓选择定则来自角动量与宇称守恒的共同约束
✓库里厄图以线性结构区分费米跃迁与GT跃迁

延伸主题：双β衰变与无中微子模式核矩阵元的微观计算宇称不守恒与吴健雄实验

13第 13 页 · β衰变知识小结

课后思考

先遮住参考答案自己思考三分钟，再对照。三题分别覆盖回顾、应用与边界。

1β能谱为什么是连续的，而不是像α、γ那样分立？这个特征如何倒推出中微子的存在？

参考答案如果只有电子带走全部衰变能，能量应当固定。连续谱说明衰变能在多个粒子之间分配——中微子悄悄带走了电子剩下的部分，这正是泡利补位推理的核心。

2比较半衰期 ft 跨越十几个数量级，这巨大的差异主要由什么决定？

参考答案主要由跃迁矩阵元决定。容许跃迁的矩阵元接近1，禁戒跃迁因角动量/宇称改变被强烈压制。ft 反映的是跃迁类型与矩阵元大小的综合，不是单一物理量。

3自由中子β-衰变半衰期约15分钟，稳定核里的中子却不衰变——这条边界由谁决定？

参考答案由衰变能 Q 值决定。母核总质量大于子核总质量，Q>0 才允许衰变。自由中子质量大于质子+电子之和，Q≈0.78 MeV>0，能衰变；稳定核内中子→质子后核总质量不降，Q<0，衰变被禁止。

14第 14 页 · 课后思考