章节21：伯努利过程 Lec. 21: The Bernoulli proce
数学大学
章节21：伯努利过程 Lec.
概率论——不确定性的科学 · 单元9：伯努利和泊松过程 Unit 9: Bernoulli and Poisson
按 空格/→ 演示下一步
全部页面点击任意一页，跳回舞台从这页播放
数学大学
章节21：伯努利过程 Lec.
概率论——不确定性的科学 · 单元9：伯努利和泊松过程 Unit 9: Bernoulli and Poisson
The Bernoulli Process
伯努利过程：每个离散时间步独立地以概率 p 出现一次「成功」。
模型要素
独立同分布的伯努利试验序列
两个量
时间步长与成功概率 p 完全刻画过程
Stochastic processes
随机过程是随时间演化的随机变量族：过程分析关注联合分布与演化规律。
定义视角
一族带时间下标的随机变量
分析要素
任意有限时段的联合行为决定过程
The fresh start property
全新开始性质：伯努利过程从任何时刻重新观察，都与从头开始一样。
无记忆
未来与过去独立，只依赖同一个 p
应用
允许在任意时刻切入分析而不失一般性
The time of the kth arri
第 k 次成功的到达时间服从 k 阶帕斯卡分布：期望 k/p。
分布
第 k 次成功出现在第 n 步的概率为组合×pᵏ(1−p)ⁿ⁻ᵏ
期望
几何分布叠加 k 次，期望 k/p
Merging of Bernoulli pro
合并两条独立伯努利过程：仍是伯努利过程，参数 p = p₁+p₂−p₁p₂。
合并规则
任一过程出现成功即算一次到达
参数
独立使合并成功概率为和减积
Splitting a Bernoulli pr
分裂伯努利过程：每次成功以概率 q 转发，得到参数 pq 的子过程。
分裂规则
独立掷硬币决定每次成功是否转发
两条子流
转发与留下两条过程各自仍为伯努利
伯努利过程自测
点击作答
独立合并两条参数分别为 p₁ 与 p₂ 的伯努利过程，合并后参数是多少？
本节要点
- ✓伯努利过程 = 独立同分布成功序列
- ✓全新开始：任意时刻切入等价从头
- ✓第 k 次到达期望 k/p
- ✓合并参数为和减积，分裂参数为 pq
延伸主题：推导第 k 次到达的分布练习合并分裂的参数计算
课后思考
先自己回答，再展开参考答案——能讲出来才算真懂。
1「全新开始」性质为什么成立？
参考答案伯努利过程各时间步相互独立且同分布：把过程在任意时刻切开，右侧的序列与历史无关、参数照旧。历史只通过当前时刻的位置影响分析，不影响未来的概率规律。
2伯努利过程与泊松过程的参数如何对应？
参考答案把单位时间切成 n 小段、每段成功概率 p/n，令 n 趋于无穷并保持 np=λ 不变，极限就是参数 λ 的泊松过程。p 对应 λ·Δt，离散与连续两套参数由此衔接。
3分裂两条子流的参数 pq 中，q 的含义是什么？
参考答案q 是单次成功的转发概率。每条子流看到的到达是「原过程成功且被转发」，独立掷币使联合概率为 p·q，于是子流就是参数 pq 的伯努利过程。