匀变速直线运动的速度与时间的关系

官官方物理老师·10 页·深入（追求细节与边界）·0 次浏览·3 天前

✦ 匀变速直线运动的速度与时间的关系物理匀变速直线运动的速度与时加速度

匀变速运动v-t图像公式推导边界条件

匀变速直线运动的速度与时

从 v-t 图像到公式推导，拆解速度规律的每个细节与边界

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匀变速运动v-t图像公式推导边界条件

匀变速直线运动的速度与时

从 v-t 图像到公式推导，拆解速度规律的每个细节与边界

1第 1 页 · 匀变速直线运动的速度与时

建立一维坐标系处理物理量

上一页我们写了 v = v₀ + at，但 a 什么时候带正号、什么时候带负号？同一辆刹车的小车，「加速」和「减速」怎么能塞进同一个公式？这就要先把「方向」这件事说清楚。

一维坐标系

选一条直线作坐标轴，定原点、定正方向、定单位长度，所有物理量都对应轴上某一点

矢量化标量

一维中矢量退化为带正负号的标量，+ 表示沿正方向，− 表示沿反方向

正方向可任意选

事先约定即可；常取初速度方向为正，或取加速方向为正

结果符号=方向信息

v<0 即方向与约定相反；a<0 即速度沿正方向在减小；轨迹不因约定改变

银行账户余额对应 →一维带符号物理量

原点=开户日；余额可正可负，但「到底剩多少钱」与符号约定无关

\vec{v}=v\hat{x},\ \vec{a}=a\hat{x},\ v=v_0+at

2第 2 页 · 建立一维坐标系处理物理量

加速度

上页把速度放进坐标系后，速度有了正负。但现实中速度并不恒定——汽车加油会加速、踩刹车会减速。要刻画「速度变化得多快」，光有速度这一量就不够了。

定义

速度对时间的变化率，刻画速度变化的快慢

矢量性

有大小也有方向，方向由 Δv 决定而非 v

方向关系

与 v 同向→加速；反向→减速；垂直→只改方向

单位

m/s²，读作「米每二次方秒」

易错边界

v = 0 时 a 不一定为 0（如竖直上抛最高点）

电梯启动时的脚底压力对应 →加速度的方向

向上加速→脚底压大→a 与 v 同向；向上减速→脚底压小→a 与 v 反向

a = \dfrac{\Delta v}{\Delta t} = \dfrac{v_t - v_0}{\Delta t}

3第 3 页 · 加速度

v-t图像

加速度讲完了——但'速度变化快慢'光靠文字描述无法量化。把它画在坐标系里：横轴t、纵轴v，速度随时间的变化一目了然，这就是v-t图像。

定义

横轴为时间t、纵轴为速度v的坐标系

形状

匀变速运动的v-t图是一条倾斜直线（a恒定）

斜率

k=Δv/Δt=a，直线倾斜程度即加速度大小

面积

图线与t轴围成的面积=位移Δx

边界

图线在t轴上方v>0（正方向），下方v<0（反方向）

x-t图像（位移-时间图）对应 →v-t图像

x-t的斜率=v（速度），v-t的斜率=a（加速度）——逐层求导

v = v_0 + at \quad (\text{斜率}=a,\ \text{截距}=v_0)

4第 4 页 · v-t图像

匀变速直线运动

前面我们认识了加速度、v-t图像和一维坐标系——现在把它们组合起来，给一类运动下精确定义：什么样的运动才叫「匀变速」？

定义

加速度恒定不变的直线运动，大小方向都不变

拆解匀变速

「匀」指均匀，「变」指速度变化，整体含义是速度变化得均匀

速度特征

速度随时间均匀（线性）变化，可匀增也可匀减

典型场景

自由落体（忽略阻力）、汽车匀加速起动、平抛的竖直分运动

理想模型

现实中严格恒定很难，是物理学重要的简化模型

匀速往杯子里倒水对应 →匀变速直线运动

倒速恒定→水位匀速上升；加速度恒定→速度匀速变化

a = \text{常量（大小、方向均不变）}

5第 5 页 · 匀变速直线运动

匀加速直线运动

上一页的 v = v₀ + at 是匀变速直线运动的速度公式，但这个「变速」其实分两路：速度越变越大，和越变越小。本页讲前者——匀加速直线运动。

核心条件

加速度 a 恒定，且方向与初速度 v₀ 相同

速度特征

速度数值随时间单调递增，方向不变

速度公式

v = v₀ + at，其中 a 为正的常量

关键边界

a 与 v₀ 反向就是匀减速；a = 0 是匀速

典型实例

自由落体、初速为零的带电粒子在匀强电场中

平直公路油门踩到底对应 →匀加速直线运动

牵引力恒定→a 恒定；车本就向前→v 越来越大；若倒车时踩油门则变为匀减速

v = v_0 + at \quad (a > 0,\ \text{常量})

6第 6 页 · 匀加速直线运动

匀减速直线运动

匀加速是油门踩到底速度越跑越快；这一节反过来看——踩刹车，速度被均匀地往下减。但「减到 0」之后会怎样？是个常被忽略的边界。

定义

速度方向不变，大小随时间均匀减小

加速度方向

a 与 v 反向（a 为常量，方向与 v₀ 相反）

速度公式

v = v₀ − at（a 取加速度的大小，t ≥ 0）

v-t 图像

向下倾斜的直线，斜率恒负，可穿越 t 轴

边界追问

v = 0 后是否反向，取决于 a 是否仍存在

踩刹车到停下的汽车对应 →匀减速直线运动

制动力恒定 → 加速度恒定 → 速度被均匀减去

v = v_0 - at

7第 7 页 · 匀减速直线运动

速度-时间关系式

上一页在 v-t 图上看到：加速度 a 就是那条直线的斜率。但图像只能定性看趋势，要算出某一秒具体多快——比如第 3 秒末速度是几米每秒——还需要一个能直接代入数字的式子。

关系式形式

末速度 v = 初速度 v₀ + 加速度 a × 时间 t

适用前提

仅当加速度 a 恒定不变（匀变速）时此式才成立

矢量等式

v₀、a、v 都是矢量，方向由事先约定的正负号统一表示

与图像对应

在 v-t 图上是一条直线，纵截距为 v₀，斜率为 a

出租车计费对应 →速度-时间关系式

起步价↔v₀，每公里单价↔a，行驶时间↔t，最终车费↔v

v = v_0 + at

8第 8 页 · 速度-时间关系式

本节要点

✓加速度是速度的变化率，方向与 Δv 同
✓v = v₀ + at 是矢量等式，符号含方向
✓v-t 图：斜率为 a，截距为 v₀
✓匀加/匀减取决于 a 与 v₀ 的方向关系
✓减速运动 a 不一定为负，仅需 a 与 v₀ 反向

延伸主题：位移-时间关系式匀变速运动平均速度公式刹车/反向类临界问题

9第 9 页 · 本节要点

课后思考

先独立思考再看参考答案，三题分别检验基础、应用与拓展。

1匀变速直线运动中，v-t 图像为什么是一条直线？「匀」字到底意味着什么？

参考答案因为 v 随 t 均匀变化，每秒速度增量相同。「匀」指加速度大小和方向都不变，即 dv/dt 是常数；对它积分得到 v=v₀+at，恰好是 t 的一次函数，图像自然是直线。

2一物体以初速度 v₀ 沿直线匀减速到静止，用 v=v₀+at 求减速时间时，a 该取正值还是负值？为什么？

参考答案取负值。减速意味着加速度方向与初速度方向相反，在公式中体现为 a<0（与 v₀ 异号）。令 v=0 解出 t=v₀/|a|，这就是停车时间。

3如果物体的加速度随时间变化而非恒定，速度公式 v=v₀+at 还能直接套用吗？该如何推广？

参考答案不能直接套用，a 不再是常数。应回到定义 a=dv/dt，两边对时间积分得 v=v₀+∫₀ᵗ a(t')dt'，原公式只是 a 为常数时的特例。

10第 10 页 · 课后思考