诱导公式

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三角函数对称性象限变换

诱导公式

搞懂口诀背后的几何逻辑，清楚每条公式的适用边界

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三角函数对称性象限变换

诱导公式

搞懂口诀背后的几何逻辑，清楚每条公式的适用边界

1第 1 页 · 诱导公式

将任意角三角函数转化为锐

上页我们认识了诱导公式这一组恒等式。但公式本身不是目的——目的是：怎么用它们，把任意角的三角函数真正算出来？这页回答这个问题。

目标：归约到锐角
任意角三角函数最终都化到 [0, π/2] 内求值
三步流程
①看象限定符号；②剥 kπ/2 得锐角参考角；③按 k 奇偶变函数名
口诀：奇变偶不变
k 为奇 sin↔cos 互换；k 为偶函数名保持
口诀：符号看象限
结果的正负 = 原函数在原角所在象限的符号
轴上角的边界
α=0, π/2, π, 3π/2 等处直接代入，结果为 0 或 ±1
翻译官把外语译成母语对应 →诱导公式把任意角译成锐角

任意角=外语；锐角三角函数=母语；公式=翻译规则

sin⁡(2kπ+α)=sin⁡α,sin⁡(π−α)=sin⁡αcos⁡(2kπ+α)=cos⁡α,cos⁡(π−α)=−cos⁡α\sin(2k\pi+\alpha)=\sin\alpha,\quad \sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha\\\cos(2k\pi+\alpha)=\cos\alpha,\quad \cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha
2第 2 页 · 将任意角三角函数转化为锐

诱导公式

上一页我们把任意角「一路化简」成了锐角三角函数。但操作背后到底在用什么公式？这页把公式家族摊到桌面上看个清楚。

核心作用
借助角与角的关系，把任意角的三角函数转化为锐角的三角函数
两类变形
①函数名是否变：奇变偶不变；②结果正负号：由原角所在象限决定
记忆口诀
「奇变偶不变，符号看象限」——kπ/2 中 k 决定函数名，象限决定符号
典型应用
求任意角的三角函数值、化简复杂三角表达式、证明三角恒等式
翻译规则手册对应 →诱导公式

遇到 -α、π±α、π/2±α 等不同句型，按对应规则翻译成 α 的形式

sin⁡(kπ+α)=(−1)ksin⁡α, cos⁡(kπ+α)=(−1)kcos⁡α, k∈Z\sin(k\pi+\alpha)=(-1)^k\sin\alpha,\ \cos(k\pi+\alpha)=(-1)^k\cos\alpha,\ k\in\mathbb{Z}
3第 3 页 · 诱导公式

公式二（π+α型）

上一节我们用π-α把任意角拉回锐角。但有时候α前面加的不是减号，而是加号——多绕了半圈。这时候三角函数会怎样？

π+α型公式内容
sin(π+α)=-sinα，cos(π+α)=-cosα
函数名不变
正弦还是正弦，余弦还是余弦，不换成别的
符号看π+α所在象限
α为锐角则π+α落在第三象限，sin、cos都取负
正切两负得正
tan(π+α)=(-sinα)/(-cosα)=tanα，符号不变
把图形绕中心转180°对应 →π+α的几何意义

绕原点转半圈，上下、左右都翻转，坐标全取反

sin⁡(π+α)=−sin⁡α, cos⁡(π+α)=−cos⁡α, tan⁡(π+α)=tan⁡α\sin(\pi+\alpha)=-\sin\alpha,\ \cos(\pi+\alpha)=-\cos\alpha,\ \tan(\pi+\alpha)=\tan\alpha
4第 4 页 · 公式二（π+α型）

公式三（-α型）

上节我们让角度「转过一圈」(π+α)。现在反过来:让角度往回走变成负值,三角函数会怎么变?

函数名不变
sin(-α) 还是 sin,只是把 α 换成 -α
符号看奇偶
sin、tan 变号(奇函数),cos 不变号(偶函数)
几何意义
-α 是 α 关于 x 轴的对称点,纵坐标取反、横坐标不变
关于 x 轴镜像对称对应 →-α 角与 α 角

y 坐标(sin)翻转,x 坐标(cos)不变,镜像只在垂直方向起作用

sin⁡(−α)=−sin⁡α,cos⁡(−α)=cos⁡α,tan⁡(−α)=−tan⁡α\sin(-\alpha) = -\sin\alpha,\quad \cos(-\alpha) = \cos\alpha,\quad \tan(-\alpha) = -\tan\alpha
5第 5 页 · 公式三（-α型）

公式四（π-α型）

公式三把负角变正，公式二把超过π的角拉回来。这一页看π−α型：π中「减去」一个角，三角函数怎么变？

公式表达
sin(π-α)=sinα, cos(π-α)=-cosα, tan(π-α)=-tanα
符号规律
口诀：正弦不变号，余弦与正切变负号
几何本质
π-α与α的终边关于y轴对称，纵坐标相同、横坐标相反
典型应用
把二象限角化为锐角，如sin150°=sin30°=1/2
镜子竖放对应 →π-α型终边

α与π-α的终边像照镜子（关于y轴对称），纵坐标不变→sin不变号，横坐标取反→cos变号

sin⁡(π−α)=sin⁡αcos⁡(π−α)=−cos⁡αtan⁡(π−α)=−tan⁡α\sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha \quad \cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha \quad \tan(\pi-\alpha)=-\tan\alpha
6第 6 页 · 公式四（π-α型）

公式五（π/2-α型）

公式四告诉你 π-α 是「正号同名」。今天 π/2-α 更进一步：不仅符号为正，函数名也要互换。sin 变 cos，cos 变 sin——连「身份」都换掉了。

函数名互换
sin↔cos，cos↔sin，tan↔cot
符号一律为正
不管 α 落在哪个象限，结果都取正
几何本质
单位圆上 π/2-α 与 α 关于 y=x 对称
与公式四对比
同为正号，但 π-α 同名，π/2-α 换名
互换身份的双胞胎对应 →π/2-α 公式

一对镜像兄弟不光长得像，连名字和坐标也对调

sin⁡ ⁣(π2−α)=cos⁡α,  cos⁡ ⁣(π2−α)=sin⁡α,  tan⁡ ⁣(π2−α)=cot⁡α\sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}-\alpha\right)=\cos\alpha,\;\cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}-\alpha\right)=\sin\alpha,\;\tan\!\left(\tfrac{\pi}{2}-\alpha\right)=\cot\alpha
7第 7 页 · 公式五（π/2-α型）

公式六（π/2+α型）

公式五里 π/2-α 落在第一象限，sin 与 cos 都为正。把减号换成加号，跨过 π/2 这条 y 轴就进入第二象限——cos 这一行要翻成负号。

sin 变 cos
sin(π/2+α)=cos α，符号为正（第二象限 sin>0）
cos 变 -sin
cos(π/2+α)=-sin α，符号为负（第二象限 cos<0）
tan 变 -cot
tan(π/2+α)=-cot α，符号为负（第二象限 tan<0）
奇变偶不变
π/2 系数 1 为奇数，所以函数名必须互换
跨过赤道从北半球到南半球对应 →从 π/2-α 跨到 π/2+α

南北向（sin）符号不变，东西向（cos）符号翻转

sin⁡(π2+α)=cos⁡α, cos⁡(π2+α)=−sin⁡α, tan⁡(π2+α)=−cot⁡α\sin\left(\tfrac{\pi}{2}+\alpha\right)=\cos\alpha,\ \cos\left(\tfrac{\pi}{2}+\alpha\right)=-\sin\alpha,\ \tan\left(\tfrac{\pi}{2}+\alpha\right)=-\cot\alpha
8第 8 页 · 公式六（π/2+α型）

本节要点

串联本节知识点，给出记忆锚点与易错提醒

本节要点
串联本节知识点，给出记忆锚点与易错提醒
9第 9 页 · 本节要点

课后思考

先合上书自己想，再对照参考答案——三题分别考察记忆、应用与迁移。

1「奇变偶不变，符号看象限」——「奇」和「偶」具体指什么？为什么不能跳过这一步直接背每条公式？

参考答案奇偶指 π/2 的系数：1、3 时函数名变（正弦↔余弦），2、4 时不变。先判奇偶再定符号，是从结构推导公式，比死记六条更不易混。

2把 -100° 化到 [0°, 90°]，你打算按什么顺序套公式？这几步能颠倒吗？

参考答案先 -α 型去负号得 100°，再 π-α 型化到锐角 80°。也可先加 360° 再化，但绕远。顺序影响路径长短，不影响结果。

3遇到 3π/2 + α 这种「课本没单独列」的角，能否用已有公式推出它的三角函数？这说明公式体系有什么特点？

参考答案能。把 3π/2+α 拆成 π+(π/2+α)，先套 π+β 型变号，再对 β 套公式六。说明六条公式封闭可组合，能覆盖所有整数倍 π/2 情形。

10第 10 页 · 课后思考