面积

官官方数学老师·13 页·入门（第一次接触这个概念）·0 次浏览·3 天前
✦ 面积数学面积
几何测量入门数学

面积

从一块地砖到一间教室，搞懂面积怎么量、怎么算、怎么用

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几何测量入门数学

面积

从一块地砖到一间教室，搞懂面积怎么量、怎么算、怎么用

1第 1 页 · 面积

用单位面积测量法比较面积

上一页我们知道了'面积有大小'，但光说'大'或'小'谁都不服气——就像两个人比身高，得有个尺子量一量。比较面积也一样，需要一把'尺子'，这把尺子就是单位面积。

为什么需要单位
光看大小不准确，得有统一标准才能比出谁大多少
什么是单位面积
一个固定大小的小方块（比如 1 平方厘米），当'量面积的小尺子'
怎么用单位面积比
把小方块一个挨一个铺在图形里，铺得多说明面积大
单位必须统一
比的时候必须用同一种方块，不能左边大块、右边小块
数苹果用'个'对应 →量面积用单位方块

一个苹果是计数单位，一块方块是测量单位，都是'先定标准、再数个数'

2第 2 页 · 用单位面积测量法比较面积

分割与拼合法求面积

上一页我们用小方格一块块数面积，可遇到斜放的平行四边形、L 形这种不规则图形就麻烦了。能不能把它变简单？

分割法
把复杂图形切成几个熟悉的简单图形（矩形、三角形），分别求面积再相加
拼合法
通过平移、旋转，把一部分挪到另一边，拼成更规则的形状
核心原则
无论怎么切、怎么拼，图形总面积始终不变
七巧板拼图对应 →分割与拼合求面积

七块板拼出各种图形，七块加起来总面积永远不变

S总=S1+S2+⋯+SnS_{\text{总}} = S_1 + S_2 + \cdots + S_n
3第 3 页 · 分割与拼合法求面积

面积

给地面铺瓷砖时，工人要算买多少块；给墙壁刷漆时，工人要算买多少桶——这些"算多少"背后都有一个共同的量：平面有多大。今天我们正式认识"面积"。

面积的含义
一个平面图形所占表面的大小，由长和宽共同决定
用方格度量
把表面切成边长为1的正方形小块，有多少个就是面积
典型应用
铺地砖算块数、刷墙算用漆、裁布算用多少料
铺地砖对应 →测量面积

每块砖当一个单位方格，铺满地面需要多少块就是面积

4第 4 页 · 面积

面积单位

上一页我们用分割拼合算出了图形有多大，但'多大'怎么表达呢？光说'很大'不够，得有个具体数字和单位。这就像量长度要用'厘米'一样，量面积也需要'面积单位'来帮忙。

什么是面积单位
约定好的标准小方块，用它来衡量面积大小
常用面积单位
平方厘米cm²、平方分米dm²、平方米m²
单位的实际含义
1平方厘米就是边长1厘米的正方形那么大
如何选择单位
测橡皮用平方厘米，测操场用平方米
尺子量长度对应 →面积单位量面积

都需要公认的'标准件'，长度用'段'，面积用'方块'

5第 5 页 · 面积单位

平方厘米

你的小拇指指甲盖差不多就是 1 平方厘米。上一页我们知道了「面积」要用统一的单位来量，这一页就来看最小的那个——平方厘米。

定义
边长 1 厘米的正方形，面积就是 1 平方厘米
大小感知
大约一个小拇指指甲盖那么大，便于心里有数
适用场景
测量很小的面，比如橡皮、纽扣、邮票
写法
写作 1 cm²，² 表示两个厘米相乘
小拇指指甲盖对应 →1 平方厘米

指甲盖大小大约就是 1 平方厘米，用手一比就有概念了

1 cm×1 cm=1 cm21\,\text{cm} \times 1\,\text{cm} = 1\,\text{cm}^2
6第 6 页 · 平方厘米

平方分米

上一页我们用平方厘米量过橡皮、邮票，可是要量课本封面，数字就会大得吓人。这时候需要一个比平方厘米大一截、但又比平方米更合适的中间单位——平方分米。

边长1分米的正方形
边长1分米（10厘米）的正方形，它的面积就是1平方分米
换算关系
1平方分米 = 100平方厘米，因为边长扩大10倍，面积就扩大10×10=100倍
常见物品参照
成年人张开的手掌、扑克牌面、一块方糖的底面都接近1平方分米
张开的手掌对应 →1平方分米

手掌摊开大约一拃见方，恰好对应1平方分米，可以现场比划

7第 7 页 · 平方分米

平方米

你已经认识了平方厘米和平方分米,但要量一块地板、一间教室,这些单位就太小了。我们需要一个更大的面积单位——平方米。

什么是平方米
边长为1米的正方形,它的面积就是1平方米
用在哪儿
房间、教室、地板、土地等较大的面积都用它
怎么换算
1平方米=100平方分米=10000平方厘米
家里大方桌桌面对应 →1平方米

边长1米的正方形,大约是一张大方桌桌面的大小

1平方米=100平方分米=10000平方厘米1\text{平方米}=100\text{平方分米}=10000\text{平方厘米}
8第 8 页 · 平方米

面积单位进率

你已经认识了平方厘米、平方分米、平方米这三个面积单位。它们之间怎么换算？长度里 1 分米 = 10 厘米，面积可不是简单翻 10 倍——因为面积有两条边。

相邻进率是 100
相邻两个面积单位之间，1 个大单位等于 100 个小单位
为什么是 100
面积有长和宽两个方向，每条边扩大到 10 倍，10 × 10 = 100
换算链条
1 平方米 = 100 平方分米，1 平方分米 = 100 平方厘米
长度单位的进率对应 →面积单位的进率

长度只看一条边，进率是 10；面积看两条边，进率是 10 × 10 = 100

1 dm2=100 cm2,1 m2=100 dm21\text{ dm}^2 = 100\text{ cm}^2,\quad 1\text{ m}^2 = 100\text{ dm}^2
9第 9 页 · 面积单位进率

长方形面积公式

之前我们用数方格的方法求面积——一个一个数太慢了。数学家找到了捷径：只要知道两条边的长度，乘一下就能算出面积。这就是今天要学的长方形面积公式。

公式
面积等于长乘以宽，知道长和宽就能算出面积
原理
长是行数，宽是每行的方块数，本质是数方格法的简化
长宽互换
两条邻边谁大谁小都行，谁做长都可以，相乘结果不变
典型应用
直接算桌面、地板、黑板、操场等所有长方形表面
教室座位对应 →长方形面积

每排座位数相当于宽，排数相当于长，总座位数就是面积

S=a×bS = a \times b
10第 10 页 · 长方形面积公式

正方形面积公式

你已经会用「长 × 宽」算长方形面积了。现在看一个特殊的图形：四条边都一样长——这就是正方形。它的「长」和「宽」其实是同一个数。

正方形是特殊长方形
四条边都相等，长和宽相同，所以它属于长方形家族的一员
面积 = 边长 × 边长
把长方形公式里的长和宽都换成「边长」，就得到正方形面积公式
简写为 a²
边长常用字母 a 表示，两个 a 相乘简写为 a²，读作「a 的平方」
长方形蛋糕对应 →正方形蛋糕

把长方形的长和宽做到一样长（比如都是20厘米），它就变成正方形蛋糕了

S=a×a=a2S = a \times a = a^2
11第 11 页 · 正方形面积公式

本节要点

  • ✓面积的本质：数一数“里面能铺几个方格”
  • ✓相邻面积单位进率都是100倍
  • ✓公式的本质：每行几个×有几行
  • ✓切来拼去变换形状，面积不变
  • ✓易错：单位必须带“²”，别和长度单位搞混
延伸主题：周长和面积有啥不同平行四边形面积怎么求不规则图形面积估算
12第 12 页 · 本节要点

课后思考

先自己想，再点开参考答案。三个问题没有标准答案，重要的是想的过程。

1为什么要规定不同的面积单位？如果全世界只用同一个面积单位，会出现什么问题？

参考答案数字会变得不方便读写。比如操场约六千平方米，用平方厘米写就是六千万，计数和读数都麻烦。单位本质是为方便表达而设的。

2如果让你估算学校操场的面积，你会怎么做？先套公式，还是先选单位？

参考答案操场很大，先选平方米做单位；再把它想成近似的长方形，用长×宽估算；最后四舍五入取近似值即可。

3现实中很多形状不规则（比如一片树叶、S形花坛），长方形公式还管用吗？

参考答案可以用分割拼合法——切成几块近似规则图形分别算再相加；也可以用单位面积测量法——摆方格去数。两招都是这节课学过的。

13第 13 页 · 课后思考