数学大学
多元函数的微分法
微积分——多元函数与重积分 · 第一章 多元函数微分学
按 空格/→ 演示下一步
全部页面点击任意一页，跳回舞台从这页播放
数学大学
多元函数的微分法
微积分——多元函数与重积分 · 第一章 多元函数微分学
复合函数微分法之一
链式法则的多元版：全导数 = 各路径偏导 × 路径导数的和。
中间变量
z=f(u,v)，u、v 又是 t 的函数
全导数
dz/dt = f_u·u′ + f_v·v′
复合函数微分法之二
中间变量为多元时：每个中间变量对每个自变量求偏导，逐路相乘再相加。
路径图
画变量关系图，沿每条路相乘、路间相加
防漏
路数 = 中间变量数 × 自变量数
复合函数求导数（举例）
典型例题：f(u,v) 与 u(x,y)、v(x,y) 复合的两组偏导计算。
例题结构
先列各偏导，再代入链式公式
检查
结果中不得残留中间变量符号错位
隐函数存在定理
隐函数存在定理：F_y ≠ 0 附近，方程 F=0 唯一确定可微的 y(x)。
条件
F 连续可微且 F_y 在点处不为零
意义
不必显式解出即可求导分析
隐函数求导法（举例）
隐函数求导公式：dy/dx = −F_x/F_y，直接由 F 的偏导给出。
公式
两边全微分后解出 dy/dx
二阶
对一阶结果再求导可得 dy″
隐函数组求导法
方程组确定多个隐函数：雅可比行列式非零时可用克莱姆法则求解导数。
雅可比条件
∂(F,G)/∂(u,v) ≠ 0
求导
方程组两边求导，解线性方程组
本节要点
- ✓链式法则：逐路相乘、路间相加
- ✓隐函数存在定理：F_y ≠ 0
- ✓隐函数导数 = −F_x/F_y
- ✓隐函数组用雅可比行列式求解
延伸主题：画路径图算一个复合偏导用公式求一个隐函数的二阶导
课后思考
先自己回答，再展开参考答案——能讲出来才算真懂。
1链式法则的「路径图」为什么能防漏项？
参考答案把变量画成节点、依赖画成边，求某自变量的偏导就是沿所有从目标到该自变量的路径走一遍，每条路径上的偏导相乘、不同路径相加。图不漏边，公式就不漏项。
2隐函数求导公式的 −F_x/F_y 符号从何而来？
参考答案对 F(x,y)=0 全微分得 F_x dx + F_y dy = 0，解出 dy/dx 自然带上负号。几何上，隐式曲线沿水平方向移动时垂直方向必须反向补偿。
3隐函数组求导的雅可比行列式为零意味着什么？
参考答案雅可比为零说明两个方程在该点「退化相关」，无法唯一解出隐函数的导数——可能有多解、无解或切向奇异。这正是隐函数组存在定理要求雅可比非零的原因。