章节26：吸收概率和预期吸收 Lec. 26: Absorption prob
数学大学
章节26：吸收概率和预期吸
概率论——不确定性的科学 · 单元10：马尔可夫链 Unit 10: Markov chains
按 空格/→ 演示下一步
全部页面点击任意一页，跳回舞台从这页播放
数学大学
章节26：吸收概率和预期吸
概率论——不确定性的科学 · 单元10：马尔可夫链 Unit 10: Markov chains
Lecture 26 outline
本讲主题：带吸收态的马尔可夫链——被吸收的概率与期望吸收时间。
两类问题
最终被哪个吸收态吸收、多久才被吸收
方法
首步分解建立线性方程组
Review: Steady-state beh
复习稳态：π=πR 给出长期占比，吸收态一旦进入则永不离开。
吸收态
自转移概率为 1 的状态
稳态局限
含吸收态时长期全部质量聚在吸收态
A numerical example, par
数值例题第三段：对带瞬态的链求解吸收相关量。
步骤
重排状态使吸收态靠前，分块处理
解读
瞬态部分的解给出到达各吸收态的分布
Design of a phone system
电话系统设计例：通话建立或占线，用吸收概率评估接通率。
建模
拨号过程各阶段为瞬态，接通与占线为吸收态
设计指标
接通吸收概率就是系统服务质量指标
Absorption probabilities
吸收概率方程：aᵢ = Σⱼ rᵢⱼ·aⱼ，边界为吸收态自身取 0 或 1。
首步分解
按第一步走向对所有路径求和
解法
得到瞬态态上的线性方程组
Expected time to absorpt
期望吸收时间：tᵢ = 1 + Σⱼ rᵢⱼ·tⱼ，吸收态的 t 为 0。
首步分解
走一步消耗一个单位时间再续算
用途
评估流程平均耗时与资源占用
Mean first passage
首达平均时间：从状态 i 首次到达 j 的期望步数，同样用首步分解求解。
定义
任意目的地为 j 时的首次到达期望
与吸收关联
把 j 视作吸收态即可套用同一方程
Gambler's ruin
赌徒破产模型：本金在 0 与 N 两条吸收界之间随机游走。
吸收概率
初始 i 时到达 N 的概率有闭式公式
公平情形
每注等概率时破产概率 = 1−i/N
本节要点
- ✓首步分解是吸收分析的总方法
- ✓吸收概率与吸收时间都是线性方程组
- ✓赌徒破产：公平情形破产率 = 1−i/N
延伸主题：解一次赌徒破产完整题为某流程算平均吸收时间
课后思考
先自己回答，再展开参考答案——能讲出来才算真懂。
1首步分解为什么能统一解决吸收类问题？
参考答案马尔可夫性保证走完第一步后过程「从新状态重新开始」，于是所求量（吸收概率、期望时间）满足以转移概率为系数的自洽方程。加上吸收态的边界条件，问题化成线性方程组。
2赌徒破产对「公平赌博」揭示了什么？
参考答案即使每注期望为零的公平赌博，有限本金对无限庄家，破产概率仍为 1；且本金越少破产越快。随机游走的吸收分析把「久赌必输」变成精确的定量结论。
3为什么含吸收态的链不适合用稳态分布分析？
参考答案稳态把全部长期质量堆在吸收态上，其余瞬态的占比全为零——π 只告诉你「最终一定被吸收」，却回答不了被哪个吸收、平均多久。这两个问题要用首步分解的吸收概率与吸收时间方程回答。