重复测量设计资料的方差分析

官官方医学老师·30 页·深入（追求细节与边界）·0 次浏览·2 天前

✦ 重复测量设计资料的方差分析医学重复测量设计资料的方差分重复测量资料的反差分析

重复测量方差分析球形性实验设计

重复测量设计资料的方差分析

讲透方差拆分的内在逻辑、球形性检验、校正方法，以及与随机区组设计的边界

按空格/→ 演示下一步

1 / 30 页

全部页面点击任意一页，跳回舞台从这页播放

重复测量方差分析球形性实验设计

重复测量设计资料的方差分析

讲透方差拆分的内在逻辑、球形性检验、校正方法，以及与随机区组设计的边界

1第 1 页 · 重复测量设计资料的方差分析

什么是重复测量设计

医生让一位高血压患者，每天早、中、晚各测一次血压，连续测一周。同一病人，多次测量——这就是重复测量设计最直观的样子。

同一受试者

核心特征：每位受试对象都接受全部水平的处理或被多次观测

受试者内因素

因素的水平变化发生在同一个体内部，而非不同个体之间

消化个体差异

每个人的基线被「锁定」在自己身上，组间变异被大大缩小

典型场景

用药前后、不同时间点、不同剂量、不同刺激条件下的纵向观察

跟踪一个学生每次月考成绩对应 →重复测量设计

盯着同一个人看进步；不像横断面研究，把不同学生放一起比

2第 2 页 · 什么是重复测量设计

重复测量 vs 独立测量

上一节说同一批人反复测能剥离个体差异。那如果改成「招两组人各测一次」呢？两种设计看起来都在比较，骨子里却不一样。

受试对象是否相同

重复=同一批对象多次测；独立=不同对象各测一次

个体差异的归处

重复设计把个体差异移出误差项，检验更灵敏

误差结构不同

重复误差仅含个体内波动；独立误差含个体间+个体内

对应方法不同

重复用重复测量方差分析；独立用普通单因素方差分析

自己每天早晨称体重对应 →重复测量设计的逻辑

「我」是同一个常数，消掉人的差异，只剩体重的真实波动

3第 3 页 · 重复测量 vs 独立测量

重复测量设计的结构图

受试者内因素与受试者间因素的可视化

重复测量设计的结构图

受试者内因素与受试者间因素的可视化

4第 4 页 · 重复测量设计的结构图

方差分析的基本哲学

前页已经看到，重复测量会把同一个体的多次观察联系起来。现在先看一个具体问题：同一个人在不同条件下的结果，差异究竟有多少能由条件解释，又有多少仍然解释不了？

总变异

每个观察值偏离总均值的平方和，概括全部数据的分散。

处理变异

各条件均值相对总均值的偏离，反映条件效应可能解释的部分。

残差变异

条件均值无法解释的剩余差异；未进一步分离受试者效应时，可能混有个体差异和噪声。

判断边界

简单模型中，处理均方与残差均方之比形成 F；重复测量还要检查相关与方差结构。

同一人多次测量的成绩对应 →总变异的拆分

把每次成绩相对总平均的偏离，拆成条件差异和剩余差异。

SS_{\mathrm{total}}=SS_{\mathrm{treatment}}+SS_{\mathrm{error}},\quad SS_{\mathrm{total}}=\sum_{ij}(y_{ij}-\bar{y}_{\cdot\cdot})^2

5第 5 页 · 方差分析的基本哲学

平方和的分解过程

一棵自顶向下的分解树：从总变异出发，先按处理切开，再把误差拆成个体差异与残差。

图解渲染中…

a2：处理因素引起的组间变异，分子项的核心a4：受试者之间的个体差异，与处理无关a5：个体内残差，包含处理×受试的随机交互

6第 6 页 · 平方和的分解过程

F检验的逻辑链条

F检验是一条从假设到判断的标准化流程，每一步都在为最终决策做准备。

提出假设

H0: 各处理均值相等；H1: 至少有一对不等

分解平方和

把总变异拆成处理（信号）与误差（噪声），分别求均方

构造F比值

F = 处理均方 ÷ 误差均方，衡量信号相对噪声的大小

查F分布定位

在H0成立的前提下，看算出的F落在分布的哪个位置

与临界值比较

和α对应的临界值比对，得出拒绝或不拒绝H0的结论

7第 7 页 · F检验的逻辑链条

单因素设计的变异来源

上页我们把总变异拆成了几块，这一页就给它们命名。重复测量的变异有三个来源：处理（时间）效应、被试个体差异，以及随机误差。

处理效应

不同处理水平间的均值差异，反映实验因素的作用；因子若是时间也称时间效应

受试者个体差异

各被试基线水平不同造成的差异，可从误差中单独剥离出来

随机误差

同一被试在不同处理下的随机波动，含处理×个体的交互

10个学生5次月考成绩对应 →重复测量三变异来源

全班均分升降=处理效应；张三总分高于李四=个体差异；同一人忽上忽下=误差

SS_{总}=SS_{处理}+SS_{受试者}+SS_{误差},\;N-1=(k-1)+(n-1)+(k-1)(n-1)

8第 8 页 · 单因素设计的变异来源

球对称假设是什么

上一页我们拆完变异、搭好 F 链条，但这套检验不是无条件的——协方差阵必须满足某种对称结构，否则经典 F 检验会失真。这个隐藏前提叫球对称（sphericity）。

球对称

协方差阵 Σ 经差分变换后呈比例单位阵，即任意两次测量值之差的方差都相等

违反的后果

F 统计量不再服从 F 分布，自由度假性偏大，第一类错误概率被膨胀

Mauchly 检验

专门检验球形是否成立的 W 统计量；p<.05 即拒绝球对称假设

自由度校正

用 Greenhouse-Geisser 或 Huynh-Feldt 估计 ε̂，校正后做更保守的 F 检验

同一批人三次月考对应 →球对称条件

任两次成绩之差的波动幅度应差不多——不论比的是哪两次

\mathrm{Var}(Y_i - Y_j) = \sigma_d^2,\ \forall\, i\neq j

9第 9 页 · 球对称假设是什么

球对称假设的图示

同一协方差矩阵 Σ 分两支：左支满足球对称（复合对称），右支不满足（异质结构）。

图解渲染中…

A1：三次重复测量方差完全相同 σ²A2：任意两两时间点协方差完全相同 ρB1：各次测量方差不等（异方差）B2：各对协方差不等，如自回归 ρ^|i-j|

10第 10 页 · 球对称假设的图示

分析步骤全流程

重复测量方差分析走完四步：从提假设到出报告，全程一气呵成。

建立假设

提出H0：各时点均值相等；H1：至少有一个时点不同

球对称检验

用Mauchly检验判断协方差阵是否满足球对称

选择校正

违反时用GG或HF法对自由度做校正

F检验报告

依是否校正做对应F检验并报告效应量

11第 11 页 · 分析步骤全流程

两因素设计的模型结构

上次我们把单因素重复测量的变异拆成了'被试间+被试内'两块。如果再叠加一个分组因素,变异该往哪放、误差该怎么切?这就涉及两种性质完全不同的因素。

受试者间因素

不同被试接受不同水平,每个水平由独立的被试组承担

受试者内因素

同一被试接受所有水平,每个被试都走完全程

混合设计

两因素同时存在,一个间一个内,组合而成

误差的双层结构

受试者间误差(组间)+受试者内误差(重复测量)

大学的选修课与必修课对应 →受试者间因素与受试者内因素

选修课每人选的未必一样＝分组承担;必修课全班都得上＝同一被试覆盖所有水平

Y_{ijk} = \mu + \alpha_j + \beta_k + (\alpha\beta)_{jk} + \pi_{i(j)} + \varepsilon_{ijk}

12第 12 页 · 两因素设计的模型结构

变异来源的完整分解

从左到右读：总变异被层层分解为四个部分，每条分支对应一个变异来源。

图解渲染中…

A1：被试间天然差异，如年龄、性别、基线水平不同B1：处理或时间带来的平均变化，例如训练前后AB1：不同个体对处理反应模式不一致（有的升有的降）E1：随机波动，需先满足球对称才能直接F检验

13第 13 页 · 变异来源的完整分解

交互作用的解释

前页已看到，交互项与两个主效应并列；这一页追问：它在样本均值里究竟多出了哪一段？

相加预测

无交互时，格子均值可由总体均值、处理效应和时点效应相加预测

两个时点差值

任选两个时点，分别计算两处理水平之间的差值

差中之差

再求两个处理差值之差；非零表示处理效应随时间而变

组合额外量

正向偏离相加基准，说明联合效果含有相加基准之外的增量

显著判断

主效应不显著时交互仍可显著；样本差值非零后仍须用F检验排除随机波动

学习时间＋辅导对应 →时间×处理交互

若辅导在学习时间较长时额外更有效，额外提升就是两因素共同出现的交互

d=(\bar y_{11}-\bar y_{12})-(\bar y_{21}-\bar y_{22}),\quad H_0:d=0

14第 14 页 · 交互作用的解释

交互作用可视化

轮廓图是判断交互的捷径：两线平行→无交互；交叉或张开→有交互。

图解渲染中…

B：决策点：两条折线斜率是否相同C：无交互：组间差距固定，与B水平无关D：有交互：组间差距大小随B水平改变F：交互显著时，仅看主效应会误导

15第 15 页 · 交互作用可视化

两因素两水平分析实例

用某药物两时间点疗效数据，跑一遍两因素重复测量方差分析的完整流程。

提出假设

对药物效应、时间效应、交互作用各立一组H0与H1

检验球对称

Mauchly检验两时间点差值方差是否齐；若不满足需校正

方差分析

按两因素重复测量模型计算各效应的F值与p值

解读结果

分别看药物、时间、交互作用三组F值是否达到显著水平

得出结论

结合p值与临床意义，回答研究最初提出的科学问题

16第 16 页 · 两因素两水平分析实例

多水平设计的挑战

上一页说到两水平时只有一个协方差，球对称容易判断。但现实中我们常常追踪 3 个、4 个甚至更多时间点——协方差矩阵瞬间膨胀，假设条件也变得苛刻。

参数数量平方级增长

k 个时间点对应 k(k+1)/2 个独特协方差参数

球对称更难满足

需所有两两差分的方差都相等，现实中常被违反

需指定协方差结构

CS、AR(1)、UN、Toeplitz 等多种结构可选

两条应对路径

ε 校正 F 检验，或用混合模型直接建模协方差

公寓楼层越盖越多对应 →多水平设计的协方差结构

两层只一面承重墙；楼层越高，承重结构越复杂，越需要更精细的工程假设

\sigma_i^2 + \sigma_j^2 - 2\sigma_{ij} = c, \quad \forall i \neq j

17第 17 页 · 多水平设计的挑战

常用的协方差结构

上页讲球对称——最理想的协方差结构。现实数据常更复杂，得用更灵活的结构去匹配。

复合对称 CS

所有重复观测间相关性相同，方差也相同

一阶自回归 AR(1)

相邻时刻最相关，越远指数衰减

Toeplitz 可交换

间隔相同步数的两观测相关性相等

非结构化 UN

不预设模式，每对观测相关性都自由估计

选择原则

用 AIC、BIC 等信息准则比较挑最优

一群朋友的友谊远近对应 →协方差结构

CS=全熟；AR(1)=邻座亲；Toeplitz=同距亲；UN=各异

\Sigma_{AR(1)} = \sigma^2 \begin{pmatrix} 1 & \rho & \rho^2 & \cdots \\ \rho & 1 & \rho & \cdots \\ \rho^2 & \rho & 1 & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{pmatrix}

18第 18 页 · 常用的协方差结构

不同协方差结构的优劣

简单结构参数少、估计稳，但假设错就系统偏差；非结构化最灵活，参数却随测量点数膨胀。何时该用哪个，是建模时的关键抉择。

简单参数化结构

相关模式：固定形状（平坦/指数衰减）
参数数量：2-3 个，估计稳定
拟合表现：假设错则系统性偏差
适用场景：样本小或有强先验支持

非结构化 UN

相关模式：不假设任何形状，全部自由估计
参数数量：k(k+1)/2 个，随测量点暴涨
拟合表现：总能最好地匹配样本协差
适用场景：样本足够大、无强先验时

样本小或确信相关模式时用简单结构；样本够大时让数据说话选 UN；拿不准就用 AIC/BIC 比较候选。

19第 19 页 · 不同协方差结构的优劣

协方差阵的可视化

5 种典型协方差结构在热力图上的视觉特征，从最简（IND）到最复杂（UN），每种对应不同的统计假设。

图解渲染中…

B1：对角线是各次测量方差，非对角元素全为 0C1：对应球对称假设：同方差 + 同协方差D1：相邻两次测量协方差最大，距离越远越小F1：不施加任何结构约束，参数最多

20第 20 页 · 协方差阵的可视化

多水平分析操作流程

多水平重复测量下，协方差结构多样，需要按系统流程处理。

模型策略选择

依据球对称是否成立，决定走单变量校正、多变量还是混合模型路线

设定候选结构

为混合模型列出 CS、AR(1)、UN 等候选协方差结构

信息准则筛选

用 AIC、BIC 比较各结构的拟合优劣，挑出最佳模型

解读固定效应

读 F 值、自由度与 p 值，结合设计矩阵报告主效应和交互

21第 21 页 · 多水平分析操作流程

为什么要校正显著性水平

方差分析告诉你'整体有差异'，但很多人还想追问'到底哪两组不同'——于是做两两比较。每多做一次比较，'至少错一次'的概率就在悄悄累加，这就是经典的'多次比较问题'。

I类错误膨胀

每次检验假阳性率α，k次后'至少错一次'的总概率远大于α

累加公式

总错误率 = 1-(1-α)^k；k=3时14.3%，k=10时40%

重复测量更突出

多个时间点两两比较，k可达数十；不校正几乎必假阳性

校正思路

调小每次α（如Bonferroni）或用Tukey等专门方法，把总α压回0.05

多次安检对应 →多次显著性检验

每道5%误报，过20道几乎必被拦一次——5%看似低，多次累加就不可忽视

P(\text{至少一次I类错误}) = 1-(1-\alpha)^k

22第 22 页 · 为什么要校正显著性水平

I类错误膨胀的图示

从左往右读：先看每次检验α的设定，再看k次累积后错率如何膨胀。

图解渲染中…

a3：公式 1-0.95^k 给出累积Ⅰ类错误率b4：k=20 时累积错率高达 64%

23第 23 页 · I类错误膨胀的图示

Bonferroni校正法

上页我们看到多重比较会膨胀假阳性概率。最朴素的对策：把整体犯错的预算平均分给每次比较，单独一次就别想超出这一份额。

基本思想

整体犯I类错误的概率上限是α，比较k次就把α平均分成k份

校正公式

每次比较的显著性水平改为α' = α/k

数学保证

由Bonferroni不等式：k次比较的总I类错误率≤k·(α/k)=α

过于保守

实际错误率常远小于α，尤其比较间相关时，统计功效严重下降

老师出10道题防作弊对应 →Bonferroni校正

要求全班作弊率不超过5%，每道题的作弊上限就是0.5%，不管题间有没有关联

\alpha' = \frac{\alpha}{k}

24第 24 页 · Bonferroni校正法

其他常用校正方法

Tukey HSD、Scheffé法、Holm法等

其他常用校正方法

Tukey HSD、Scheffé法、Holm法等

25第 25 页 · 其他常用校正方法

各方法的适用场景

重复测量分析要回答两个层次的问题:整体有无差异,具体哪几个时点不同——两种策略如何选?

成对比较

回答"哪两个时点不同"
需校正I类错误膨胀
需以整体显著为前提
给出差异方向与效应大小

整体比较

回答"整体有无差异"
单次检验无需校正
为成对比较提供入场券
不指出具体差异所在

先做整体F检验,显著后再用校正后的成对比较定位差异;不能跳过整体直接做多重成对比较。

26第 26 页 · 各方法的适用场景

完整分析案例

用真实新药试验走一遍流程；菱形处根据球对称结果做分支，最终汇向报告撰写。

图解渲染中…

C1：Mauchly 球对称检验，p>0.05 视为满足D2：Greenhouse-Geisser 校正，压缩自由度E3：组别×时间交互，临床最关心F2：Bonferroni 控制多重比较 I 类错误

27第 27 页 · 完整分析案例

核心概念自测

点击作答

重复测量方差分析中，球对称假设的数学含义是什么？

28第 28 页 · 核心概念自测

知识要点回顾

✓变异分解是所有方差分析的共同骨架
✓重复测量的核心难点在于观测间的相关性
✓球对称是特例，协方差结构是更一般的视角
✓多重比较必须校正以控制I类错误膨胀

延伸主题：混合效应模型非参数重复测量方法样本量与检验效能

29第 29 页 · 知识要点回顾

课后思考

先合上笔记自己想想，再对照参考答案——重点不在结论本身，而在你思考的过程。

1球对称假设被违反时，G-G 校正和 H-F 校正都让分子分母的自由度缩小。这背后的统计直觉是什么？

参考答案球对称被破坏意味着各配对差分的方差不齐，标准 F 检验会膨胀 I 类错误。用小于 1 的 ε 缩减自由度，相当于人为让 F 分布变扁、拉高拒绝门槛，恢复检验的保守性。

2如果重复测量各时间点的间隔不等（比如第 1、2、5、10 天），球对称还合理吗？分析策略需要做哪些调整？

参考答案间隔不等本身不直接破坏球对称（球对称看差分方差而非时间间隔），但提示数据可能存在自相关结构。建议改用混合效应模型，显式指定 AR(1) 等协方差结构。

3心理学实验中被试中途脱落很常见。相比传统重复测量方差分析，混合效应模型在处理这类缺失数据时有什么优势？

参考答案传统 RM-ANOVA 要求完整数据或简单插补，会丢失信息甚至引入偏差。混合效应模型在 MAR 假设下可利用所有可用观测，灵活处理不均衡设计，并直接估计个体随机效应。

30第 30 页 · 课后思考