章节5：概率质量函数和期望 Lec. 5: Probability mass
数学大学
章节5：概率质量函数和期
概率论——不确定性的科学 · 单元4：离散随机变量 Unit 4: Discrete random variables
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章节5：概率质量函数和期
概率论——不确定性的科学 · 单元4：离散随机变量 Unit 4: Discrete random variables
Definition of random var
随机变量把实验结果映射为数值：为数值运算铺平道路。
映射定义
X: Ω → R，结果到实数的函数
价值
把事件抽象成可加减的量
Probability mass functio
概率质量函数（PMF）：p_X(x)=P(X=x)，列出随机变量的全部取值概率。
非负归一
p_X(x)≥0，全体取值之和为 1
读法
PMF 就是随机变量的完整概率画像
Bernoulli and indicator
伯努利随机变量取 0 或 1：指示随机变量用 1 标记「某事件发生」。
伯努利变量
P(1)=p，P(0)=1−p
指示变量
I_A=1 当且仅当事件 A 发生
Uniform random variables
离散均匀分布：k 个等可能取值，每个概率 1/k。
PMF
在 {a,…,a+k−1} 上均匀铺开
期望
E[X]=(a+a+k−1)/2，即中点
Binomial random variable
二项随机变量 X~Bin(n,p)：n 次独立试验的成功次数。
PMF
p(k)=C(n,k)pᵏ(1−p)ⁿ⁻ᵏ
期望
E[X]=np，无需复杂计算
Geometric random variabl
几何随机变量：等待首次成功的试验次数。
PMF
p(k)=(1−p)^{k−1}·p，k=1,2,…
期望
E[X]=1/p，无记忆性是其灵魂
Expectation
期望是取值按概率加权的平均：随机现象的「中心」。
定义
E[X]=Σx·p_X(x)
解读
长期重复试验的平均值趋于期望
The expected value rule
期望值法则：E[g(X)]=Σg(x)p_X(x)，不必先求 g(X) 的分布。
直接计算
对每个取值套函数再加权求和
省事
跳过求 g(X) PMF 的中间步骤
Linearity of expectation
期望线性性：E[aX+bY+c]=aE[X]+bE[Y]+c，无条件成立。
无条件成立
不要求 X 与 Y 独立
杀手应用
复杂和的期望拆成各指示变量之和
期望线性性自测
点击作答
X 与 Y 不独立时，E[X+Y] 等于什么？
本节要点
- ✓随机变量：结果到数值的映射
- ✓PMF 是随机变量的完整画像
- ✓期望 = 加权平均，线性性无条件
- ✓指示变量 + 线性性解决复杂计数期望
延伸主题：推导二项分布的期望 np用指示变量法算一个匹配问题
课后思考
先自己回答，再展开参考答案——能讲出来才算真懂。
1期望线性性为什么与独立性无关，有什么妙用？
参考答案期望是按 PMF 的加权和，和的期望逐项展开即可，无需任何联合信息。妙用：求 n 人换帽匹配数的期望，不必求 PMF——拆成 n 个指示变量，每个期望 1/n，答案恒为 1。
2PMF 与「事件的概率」是什么关系？
参考答案事件概率回答某个具体事件，PMF 一次回答所有形如 {X=x} 的事件且互斥归一。有了 PMF，任何关于 X 的事件概率都可由取值子集求和得到。
3几何分布的「无记忆性」指什么？
参考答案已失败 k 次后，再等到首次成功的剩余等待分布与从头开始完全相同——历史失败不改变每次成功概率 p。指数分布是它的连续版本，两者共享这一性质。