数学大学
动态信号与信号内积
动态测试与分析（上） · 第一章 动态信号与信号内积
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动态信号与信号内积
动态测试与分析（上） · 第一章 动态信号与信号内积
内积规则——内积规则
信号内积把「像不像」变成一个数：对称、线性、正定三条规则撑起全部运算。
对称律
交换两信号次序，内积值不变
线性律
常数可提出，和的内积可拆开
正定性
信号与自身内积是能量，恒非负
内积规则——多信号内积
和信号的内积按分配律展开：交叉项刻画不同信号之间的相互关联。
分配展开
和的内积等于内积之和
交叉项
不同信号对的内积度量相互干扰程度
内积规则——内积嵌套
内积的输出可以再作为信号参与内积：嵌套对应多级变换的级联。
先内后外
先算内层内积，结果作为新信号参与外层
级联意义
多步信号变换可逐级用内积表达
内积规则——连续内积与离散
离散内积是连续内积的黎曼和：采样足够密，两者趋于相等。
黎曼和近似
样本乘积求和再乘采样间隔逼近积分
极限等价
采样间隔趋于零，离散内积趋于连续内积
工程意义
计算机用离散和实现连续内积
内积规则——周期信号的极限
周期信号的内积在一个周期上计算；周期趋于无穷就过渡到非周期情形。
单周期计算
周期信号内积在一个周期上积分并归一
极限过渡
周期趋于无穷大对应非周期信号
内积规则——内积与矢量积
信号内积是矢量点积的推广：从有限维分量求和到连续维积分。
点积类比
向量点积对应分量相乘求和；信号是连续向量
几何意义
夹角小则内积大——相似度高的数学表达
相关内积变换——镜像信号
镜像信号 x(−t) 关于纵轴翻转：相关运算的几何准备。
翻转定义
时间轴反折，t 换成 −t
相关角色
相关运算内含镜像与移位两个动作
相关内积变换——相关内积
相关 = 信号与「镜像移位信号」的内积随移位量变化：峰值即最相似时刻。
定义
移位量 τ 变化，逐点乘积积分成曲线
峰值意义
相关峰处两信号最相似，τ 即时延
工程用途
时延估计、特征对齐的核心工具
相关内积变换——相卷内积
卷积与相关只差一次镜像：卷积先翻转再移位，相关不移位方向。
卷积定义
翻转、移位、相乘、积分四步
相关与卷积
相关等于卷积取镜像信号
分工
卷积描述系统输出，相关测相似与时延
相关与卷积自测
点击作答
相关运算与卷积运算在流程上的关键差别是什么？
本节要点
- ✓内积三律：对称、线性、正定
- ✓离散内积是连续内积的黎曼和
- ✓信号内积是矢量点积的连续推广
- ✓相关测相似与时延，卷积算系统输出
延伸主题：手算两个短信号的相关编程验证黎曼和逼近
课后思考
先自己回答，再展开参考答案——能讲出来才算真懂。
1为什么说信号内积是矢量点积的推广？
参考答案向量点积是有限维分量的乘积求和；把信号视为无限维「连续向量」，求和变成积分——这就是内积。夹角小内积大的几何直觉也随之迁移过来。
2相关峰值为什么能测时延？
参考答案当移位量恰好等于两信号的真实时延时，对齐程度最高、乘积积分最大。找相关曲线的峰，就找到了两个信号的时延差，这是测距与对齐的原理。
3离散内积逼近连续内积需要什么条件？
参考答案采样要足够密（满足采样定理的思路），使黎曼和的近似误差足够小；积分区间覆盖信号的有效长度。满足后离散计算即可可靠替代连续积分。