A3 单位冲激响应（unit impulse response）（不要求）
单位冲激响应
看懂电路对瞬时脉冲的完整响应：推导、性质与适用边界
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单位冲激响应
看懂电路对瞬时脉冲的完整响应：推导、性质与适用边界
什么是单位冲激信号 δ(t)
上一页我们讲了「冲激响应」——给系统一个瞬间刺激看它怎么反应。那这个「瞬间刺激」本身长什么样？它不是普通函数，而是数学上特殊定义的「广义函数」。
力→∞、时间→0，但冲量（力×时间）恒为 1
冲激与阶跃的微积分关系
上一页我们认识了δ(t)——一个在t=0瞬间出现又瞬间消失的尖峰。u(t)你更熟悉：t<0时是0，t≥0时保持1。它们形态差别这么大，背后却由一条微积分纽带紧紧连着。
泼水是瞬时动作（δ）；水位从0一下变成1并保持，就是u(t)
冲激信号的筛分性质
从左到右读：任意函数 f(t) 与 δ(t) 相乘后积分，结果只保留 f(0) 一项。
RC 电路冲激响应的推导起点
从静止的 RC 电路出发，看冲激信号怎么一步步激发出响应。
t=0时刻的初始储能
冲激电流在无穷短时间内给电容充电，让电压在 t=0⁺ 瞬间跳到 1/C，过程分四步。
RC 冲激响应表达式
上页 t=0 时电容储能为零。把零状态假设代入微分方程，看输出电压到底是什么样子。
瞬间给一个力启动，之后按固有节奏慢慢衰减到零
RC 冲激响应波形
沿时间轴看冲激响应的衰减过程：起点最高，沿 τ 等比收缩，最终归零。
RL 电路冲激响应的推导起点
RL 电路在冲激电压下，先确认零状态、再看电压怎么落到电感上、最后算出电流的突变值。
t=0时刻的初始储能
冲激电压在零宽瞬间把能量打进电感，让电感电流在 t=0⁺ 突变到 1/L。
RL 冲激响应表达式
上页 RL 在 t=0+ 拿到 i(0+)=1/L 的初始电流。接下来要知道：从这一刻起，电流怎么随时间衰减？答案是一个指数函数，结构和 RC 的电压响应几乎对称。
踹的冲量=1，飞轮转速瞬变到 1/L；摩擦=R，转速以 L/R 为时间常数衰减
RL 冲激响应波形
横看时间推进，纵向节点是关键时刻电流；曲线即 i(t)=(1/L)e^(-t/τ) 的图像
RC vs RL 冲激响应对比
都是一阶电路，衰减形式相似但响应量不同，易混淆。
- 电压型响应：u_C(t)
- 储能元件：电容 C
- 时间常数：τ = RC
- 衰减：e^(-t/RC)
- 电流型响应：i_L(t)
- 储能元件：电感 L
- 时间常数：τ = L/R
- 衰减：e^(-Rt/L)
冲激响应与阶跃响应的关系
上一页我们把 RC 和 RL 的冲激响应分别求出来了。这页把视角从具体电路拉高到一般系统——不论电路多复杂，只要它是线性时不变的，冲激响应和阶跃响应之间就有一个不挑电路的通用关系。
速度是路程的导数；冲激响应是阶跃响应的导数——都是「瞬时变化率」对应「累积结果」
单元自测
在线性时不变系统中，单位冲激响应 h(t) 的准确定义是什么？
课后思考
请先独立思考，再对照参考答案。三题分别指向核心机制、工程价值与推广边界。
参考答案冲激瞬间将单位电荷注入电容，电压从 0 跃变到 1/C。跳变幅度由电容值决定：C 越小，跳变越剧烈。
参考答案窄脉冲频谱极宽，能同时激发电路所有固有频率。从响应中可识别谐振点、衰减特性——冲激响应就是电路的'指纹'。
参考答案RLC 二阶响应呈欠阻尼/临界/过阻尼三种形态。冲激项是否出现取决于拓扑——看电容电压或电感电流的初值是否被阶跃改变。