数学大学
直角坐标系下的二重积分
多元微积分（先修课） · 第四章 重积分及其应用
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直角坐标系下的二重积分
多元微积分（先修课） · 第四章 重积分及其应用
矩形区域上的二重积分
矩形域上的二重积分直接化成累次积分：两个变量依次积分。
累次积分
∫∫f dxdy = ∫dx ∫f dy，先内后外
次序可换
矩形域上两种次序结果相同
矩形区域上二重积分的计算
内层积分把另一变量当常数：一次一元定积分，两次完成。
内层常数化
对 y 积分时 x 视为参数
分离变量
f(x)g(y) 型可拆成两个一元积分相乘
非矩形区域上的二重积分
非矩形区域化累次积分的关键是定限：边界方程就是积分限。
X 型区域
上下边界都是一条曲线，先 y 后 x
Y 型区域
左右边界各一条曲线，先 x 后 y
非矩形区域上二重积分的计
复杂区域要拆分：一种次序限不分段，另一种要分段，选简单的那种。
选次序
让内层积分限表达式唯一不分段
必要时拆域
两种次序都要分段时拆成几块算
本节要点
- ✓矩形域直接化累次积分
- ✓X 型先 y 后 x，Y 型先 x 后 y
- ✓次序选择看边界是否分段
延伸主题：画域定限练三题交换一次累次积分次序
课后思考
先自己回答，再展开参考答案——能讲出来才算真懂。
1「先 y 后 x」到底是什么意思？
参考答案先固定一个 x，沿竖直方向从下边界积到上边界（对 y 积分），再把结果沿 x 方向累加。几何上是先算竖直细条的面积，再把细条从左到右扫一遍。
2为什么有的区域必须拆分才能化累次积分？
参考答案若沿某方向投影，上下边界是分段曲线，内层积分限无法用单一表达式写出，只能拆成几块分别积分。选另一种次序有时可避免拆分，这正是选次序的价值。
3累次积分内层算出来的结果还带外层变量，正常吗？
参考答案正常且必然：内层积分的上下限或被积函数含外层变量时，结果是外层变量的函数。这正是多重积分「逐层压缩维度」的机制，外层积分把最后一个变量也积掉。