数学背景 Mathematical background
数学大学
数学背景 Mathematical ba
概率论——不确定性的科学 · 单元1：概率模型和公理 Unit 1: Probability models and a
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概率论——不确定性的科学 · 单元1：概率模型和公理 Unit 1: Probability models and a
Mathematical background:
数学背景总览：集合、序列极限、级数与可数性四件工具。
定位
这些是概率论的语言与地基
建议
按需复习，边用边补
Sets
集合运算复习：并、交、补，与事件运算一一对应。
运算对应
并=或，交=且，补=不发生
分配律
交并对分配律成立，化简事件的工具
De Morgan's laws
德摩根律：并的补等于补的交，交的补等于补的并。
两式
(A∪B)ᶜ=Aᶜ∩Bᶜ；(A∩B)ᶜ=Aᶜ∪Bᶜ
概率应用
「都不发生」与「至少一个发生」互为补集
Sequences and their limi
数列与极限：收敛的含义与极限的运算规则。
收敛定义
项与极限之差可任意小
运算法则
极限保持加减乘除（分母非零）
When does a sequence con
收敛判别：单调有界数列必收敛；夹逼准则判定难直接求的序列。
单调有界
单调递增有上界 ⇒ 收敛
夹逼
被两个同极限序列夹住则同极限
Infinite series
无穷级数是部分和序列的极限：先看部分和是否收敛。
定义
Σaₖ = lim(部分和 Sₙ)
几何级数铺垫
最重要的可求和级数是几何级数
The geometric series
几何级数：|r|<1 时 Σrᵏ = 1/(1−r)，概率计算高频使用。
求和公式
首项 a、公比 r 时和为 a/(1−r)
概率应用
几何分布期望、重复试验概率都靠它
Countable and uncountabl
可数集能与自然数一一对应；不可数集（如实数区间）不能。
可数
可排成一列，如整数与有理数
不可数
实数区间不可排列，概率公理为此设计
本节要点
- ✓集合运算即事件运算
- ✓德摩根律连接「至少一」与「都不」
- ✓几何级数是概率计算的常客
- ✓可数性区分两类样本空间
延伸主题：用德摩根律化简一个事件算一个几何级数概率题
课后思考
先自己回答，再展开参考答案——能讲出来才算真懂。
1德摩根律在概率题里最常见的用法是什么？
参考答案把「至少一个发生」与「全部不发生」互相翻译：P(都不发生)=1−P(至少一个发生)，而「至少一个发生」的并可由容斥展开。许多复杂事件的概率靠这一转一展解决。
2几何级数为什么在概率中频繁出现？
参考答案重复独立试验的概率天然含 (1−p) 的幂：首胜时刻、直至成功的等待、无穷尝试至少一次成功，都归结为几何级数求和。它是「坚持直到成功」类问题的通用钥匙。
3可数与不可数的区别对概率公理有什么影响？
参考答案可数样本空间只需给每个点配概率；不可数空间单点概率全为零，必须用密度与可数可加性在区间层面定义概率。公理的可数可加性正是为容纳不可数空间而设计。