数学大学
多元函数的极限
多元微积分（先修课） · 第二章 多元函数的极限理论
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多元函数的极限
多元微积分（先修课） · 第二章 多元函数的极限理论
二重极限的定义
二重极限要求点在平面上「任意路径」趋近：比一元极限强得多。
任意路径
所有趋近方式的极限值一致才存在
距离刻画
点 P 与 P₀ 的距离充分小即可
二重极限的性质
二重极限继承四则运算、夹逼与局部保号性等一元性质。
四则运算
存在极限时可加减乘除
夹逼准则
被同极限函数夹住时极限相同
二重极限的计算
常用手段：代入、等价替换、夹逼、极坐标变换逐一尝试。
连续代入
初等函数在连续点直接代入
极坐标化
化为单变量 r 的极限再判断
二重极限自测
点击作答
沿不同路径趋近时极限值不同，能得出什么结论？
本节要点
- ✓二重极限要求任意路径一致
- ✓不同路径极限不同即不存在
- ✓计算手段：代入、夹逼、极坐标
延伸主题：找一条路径证极限不存在练一道极坐标求极限
课后思考
先自己回答，再展开参考答案——能讲出来才算真懂。
1为什么「沿坐标轴极限存在」不能说明二重极限存在？
参考答案坐标轴只是平面上无穷多条趋近路径中的两条；二重极限要求任意路径结果一致。斜线、抛物线等其他路径可能给出不同值——必须检验所有路径或用夹逼。
2极坐标变换把二重极限化成一元极限后，还要注意什么？
参考答案化到极坐标后极限只应与 r 有关、且与角度 θ 无关地趋于该值；若结果仍依赖 θ，说明原极限不存在。变换后的表达式要一致地估计。
3求二重极限时什么时候用夹逼、什么时候证不存在？
参考答案先目测：代数结构对称、符号绝对可控时用夹逼或极坐标；含 x·y 乘积交叉且路径可疑时优先找两条路径证不存在。先试存在性手段，失败立即转向不存在性证明。