数学大学
第一型曲面积分及其应用
多元微积分（先修课） · 第五章 曲线曲面积分及其应用
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数学大学
第一型曲面积分及其应用
多元微积分（先修课） · 第五章 曲线曲面积分及其应用
曲面的面积
曲面面积用投影微元计算：dS = √(1+z_x²+z_y²) dxdy。
投影法
向 xy 面投影，除以 cosγ 修正倾斜
倾斜因子
曲面越陡，同一投影对应的真实面积越大
第一型曲面积分的定义
对面积的曲面积分：面密度乘面积微元在曲面上累积。
物理原型
面密度不均匀的曲面壳求质量
与方向无关
同第一型：只对面积，不分侧
第一型曲面积分的计算
投影到一个坐标面：曲面方程代入，dS 换成投影面微元。
一投二代三换
投影、代入曲面方程、换 dS
选投影面
选曲面不与投影方向平行的坐标面
第一型曲面积分的应用
曲面壳的质量、质心与转动惯量：与曲线积分同构的物理应用。
质量质心
m=∫∫ρ dS，质心按面密度加权
转动惯量
∫∫r²ρ dS
本节要点
- ✓dS 含倾斜因子 √(1+z_x²+z_y²)
- ✓第一型曲面积分不分侧
- ✓口诀：一投、二代、三换
延伸主题：算球面局部面积求均匀曲面壳的质心
课后思考
先自己回答，再展开参考答案——能讲出来才算真懂。
1为什么斜的曲面在投影面上算面积要「放大回去」？
参考答案曲面倾斜时，它在投影面上的影子比真实面积小，缩小比例是法向量与投影方向夹角的余弦 cosγ。除以 cosγ（即乘 √(1+z_x²+z_y²)）把影子还原成真实面片。
2第一型曲面积分「不分侧」意味着什么？
参考答案它只关心曲面上面密度等标量的累积，与曲面朝向无关；这与第二型曲面积分（对坐标积分、必须选定侧）截然不同。计算第一型时不必担心取上侧还是下侧。
3为什么向 xoy 面投影时要求曲面与投影方向不平行？
参考答案若曲面某片竖直（与 xy 面垂直），同一投影点对应多个曲面点，投影不再是——对应，dS 公式失效。遇到竖直片应改投到其他坐标面或分片处理。