章节8：概率密度函数 Lec. 8: Probability density
数学大学
章节8：概率密度函数 Lec
概率论——不确定性的科学 · 单元5:连续随机变量 Unit 5: Continuous random variables
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章节8：概率密度函数 Lec
概率论——不确定性的科学 · 单元5:连续随机变量 Unit 5: Continuous random variables
PDFs
概率密度函数（PDF）：连续随机变量的「概率浓度」，面积才是概率。
面积即概率
P(a≤X≤b)=∫f(x)dx 为曲线下面积
单点为零
密度值不是概率，f(x) 可大于 1
Uniform and piecewise co
均匀与分段常数密度：区间内恒定高度，概率按长度分配。
均匀密度
[a,b] 上高度 1/(b−a)
分段常数
分区间给不同高度，逐段算面积
Means and variances
连续情形的期望与方差：把求和换成积分，概念完全平行。
期望
E[X]=∫x·f(x)dx
方差
Var(X)=E[(X−E[X])²]，散布度量
Mean and variance of the
均匀分布 U[a,b] 的均值与方差：中点与区间宽度的平方除十二。
期望
E[X]=(a+b)/2
方差
Var(X)=(b−a)²/12
Exponential random varia
指数分布：等待时间的连续模型，密度 λe^(−λx)，无记忆。
密度
f(x)=λe^(−λx)，x≥0
数字特征
E[X]=1/λ，Var(X)=1/λ²
无记忆性
已等 t 与重新开始等价，连续版几何分布
Cumulative distribution
累积分布函数（CDF）：F(x)=P(X≤x)，对离散连续通吃。
单调右连续
从 0 单调升到 1
求密度
连续情形 F 的导数即 PDF
Normal random variables
正态分布：钟形曲线，由均值 μ 与方差 σ² 两个参数完全确定。
形状
对称钟形，μ 定中心 σ 定胖瘦
地位
大数小误差叠加的极限形态（中心极限定理）
Calculation of normal pr
正态概率计算：标准化到 Z 再查标准正态表。
标准化
Z=(X−μ)/σ，化为 N(0,1)
查表
Φ(z) 表给出 Z≤z 的累积概率
正态计算自测
点击作答
X~N(μ,σ²)，标准化后 Z 服从什么分布？
本节要点
- ✓PDF 面积即概率，单点为零
- ✓均匀：中点期望、宽度平方除十二
- ✓指数无记忆，期望 1/λ
- ✓正态标准化后查表算概率
延伸主题：推导均匀分布的方差用标准表算一次正态概率
课后思考
先自己回答，再展开参考答案——能讲出来才算真懂。
1为什么连续情形「单点概率为零」却仍有意义？
参考答案连续分布把概率分配给区间而非点：任一单点的面积是零，但落入某区间的概率为正。问「恰好等于 3」没有意义，问「在 3 附近」才有意义——这是连续与离散的思维分界。
2指数分布的无记忆性在工程上意味着什么？
参考答案设备已无故障运行 t 小时，其剩余寿命分布与新设备相同——老化不存在。这使指数分布适合纯随机故障（如电子元件）建模，不适合磨损型失效。
3CDF 相比 PDF 的优势是什么？
参考答案CDF 对离散、连续、混合随机变量统一适用，且直接给出 P(X≤x)。求任意区间概率用端点 CDF 相减即可，是三类随机变量的通用语言。