实验:电池电动势和内阻的测量

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✦ 实验:电池电动势和内阻的测量物理实验:电池电动势和内阻的内阻

伏安法U-I图像误差分析电源参数

实验:电池电动势和内阻的

搞清三种测量电路的设计逻辑、误差来源，以及U-I图像法的拟合技巧

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伏安法U-I图像误差分析电源参数

实验:电池电动势和内阻的

搞清三种测量电路的设计逻辑、误差来源，以及U-I图像法的拟合技巧

1第 1 页 · 实验:电池电动势和内阻的

多次测量并取平均以减小误

上一页我们接好电路读出一组 U、I，算出了一组 ε 和 r。可你若把同一套装置交给同桌重做，他得到的 ε 和 r 大概率跟你不一样。问题出在哪？答案就藏在那句「只测了一次」。

多次测量取平均

多次改变电阻箱阻值，测出多组 (U,I) 数据，分别算出 ε 与 r 后取平均值

减小偶然误差

测量中的偶然误差有正有负，多次测量后正负相抵，平均值更接近真实值

实验操作要点

通常改变 R 测 5~6 组，U 的变化范围尽量铺开，组数太少平均效果不明显

适用边界

只能抵消随机性的偶然误差，对电表零点不准等系统误差无能为力

射箭打靶对应 →多次测量取平均

单支箭可能偏左也可能偏右，多支箭的平均落点比单支更靠近靶心

\bar{\varepsilon}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\varepsilon_i,\quad \bar{r}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}r_i

2第 2 页 · 多次测量并取平均以减小误

作图法（线性拟合/描点作

上一页说到多次测量取平均能把随机误差压下去。但如果你做了6组数据、每组都画一个点，这些点本身就藏着规律——作图法正是把'一堆数'变成'一条线'，再从线里读出物理量。

为何要作图

直观显示变化趋势；多组数据一次性消化，比单个值更可信

线性化为前提

把公式整理成 y=kx+b 形式，让图像必须是直线

斜率与截距

斜率对应一个物理量，纵截距对应另一个，由公式决定

拟合而非连线

直线不过每一点，但要照顾多数点、两侧均衡分布

打靶散点对应 →线性拟合

子弹会散开，但弹孔群中心能告诉你瞄的是哪儿——拟合直线就是这条'中心'

\varepsilon = U + Ir \Rightarrow U = -rI + \varepsilon\quad(y=kx+b\text{ 形式})

3第 3 页 · 作图法（线性拟合/描点作

实验方案设计（根据测量条

前几页讲了多次测量取平均、U-I 作图求 ε 和 r——但实验真正开始前，你手里只有一节电池。首要任务：判断它的'脾气'（ε 大小、r 量级），然后再选器材、定电路。

先摸电池底细

用万用表粗测 ε 和 r 数量级（干电池 ε≈1.5V，r 通常 <1Ω），这是所有后续选择的依据

电表量程匹配

电流表量程覆盖 I_max=ε/(R_min+r)，电压表量程覆盖 ε；过小烧表，过大误差大

电表接法选择

比较 R 与 √(R_A·R_V)：R 大则内接，R 小则外接；干电池 r 小、R 大，多用外接

变阻器接法选择

r 较小时需从大电阻起步，用分压接法保证可调到接近零；限流接法电压调不到零

安全边界检查

确认最大电流不超过电池额定放电电流，否则极化严重、r 漂移，测出的数据失真

医生开处方对应 →实验方案设计

先诊断（电池参数）→ 再开方（选器材、接法），不能反过来

R_c = \sqrt{R_A \cdot R_V}

4第 4 页 · 实验方案设计（根据测量条

电动势

前页的作图方案会测得多组电压、电流数据。要从斜率和截距反推电源参数，先弄清电动势表示的物理含义。

电动势 E

非静电力把单位正电荷从负极移到正极所做的功，单位为伏特（V）。

开路电压

外电路断开、电流近似为零时，端电压近似等于电动势；电压表内阻会造成微小电流。

内阻压降

把内阻视为常数时，电源放电满足 U=E-Ir；内阻越大，端电压下降越明显。

能量边界

电动势不是电池储存的总能量；它描述单位电荷通过电源时获得的能量。

作图应用

在 U-I 图中，纵轴截距给出 E，斜率绝对值给出 r，常与多次测量取平均配合。

水泵把水送到高处对应 →电动势

水泵提升单位水量所做的功，对应电源移动单位电荷所做的功；水流对应电流，内阻对应阻力。

U=E-Ir,\qquad E=\lim_{I\to 0}U

5第 5 页 · 电动势

内阻

上节我们谈了电动势——电池的「总能力」。但负载端真实拿到的电压，往往比它小。中间这截差值从哪冒出来的？这就要引入一个新角色：内阻。

定义

电流在电池内部流动时所受的阻碍，反映电池内部「耗能」的能力

物理来源

电解液电阻、离子迁移阻力、电极极化共同构成，并非单一电阻元件

端电压关系

U = ε − Ir，电流越大，内阻压降越大，端电压越低

非恒定特性

r 随电流、温度、放电程度变化，是个「漂移的量」而非固定常数

水管对水流的摩擦对应 →电池内阻

水泵给水势（电动势），管壁摩擦消耗部分，到水龙头处水压（端电压）已低于水势

U = \varepsilon - Ir

6第 6 页 · 内阻

闭合电路欧姆定律

一节干电池标着 1.5V，不接负载时电压表也显示 1.5V，但接上小灯泡后两端电压却不到 1.5V——少的那部分电压去哪了？这就要从闭合回路的角度说起。

定律内容

电源电动势等于路端电压加上内阻上的电压降：ε = U + Ir

物理意义

化学能转化的电能，一部分输出给外电路，一部分在内阻上消耗

路端电压

U = ε − Ir，随外电阻增大而增大，电流越大路端电压越低

适用条件

稳恒直流电路，电源的 ε 和 r 视为常量

典型应用

改变外电阻测 U、I，用 U = ε − Ir 作图可同时求出 ε 和 r

水泵与水管系统对应 →电池与闭合电路

水泵扬程对应电动势，管道阻力对应内阻，阀门开度对应外电阻

ε = U + Ir \quad \Longleftrightarrow \quad U = ε - Ir

7第 7 页 · 闭合电路欧姆定律

路端电压

上一页我们用闭合电路欧姆定律把 ε、I、r 三者连成 U = ε − Ir。但电压表接在电池两端读到的那个 U，物理上到底是什么？它就是路端电压——电池正负极间的输出电压。这一页把它讲透。

定义

电源正负极两端（即外电路两端）的电压

关系式

U = ε − Ir，随 I 增大线性减小

边界与单调性

开路 I=0 时 U=ε；外短路时 U→0；U 单调递减

测量要点

电压表读数即 U；U–I 图截距=ε、斜率=−r；电压表内阻非无穷大引入系统误差

水管末端的实际水压对应 →路端电压

水泵总扬程＝ε，管道阻力＝r，流量＝I；流量越大，沿程损失越大，末端水压越低

U = \varepsilon - Ir

8第 8 页 · 路端电压

U-I图像（路端电压-电流图

上一页闭合电路欧姆定律给出 U = ε − Ir。把 I 当自变量、U 当因变量画图,理论是一条直线——但实测点往往散乱。这张图既是测量结果的呈现,也是判断实验成败的依据。

数学形式

U = −rI + ε,理论上是一条不过原点的直线

纵截距即电动势

I = 0 时 U = ε,对应理想空载时的端电压

斜率绝对值即内阻

|k| = r,直线越陡表示内阻越大

拟合优度

数据点越贴近直线,说明系统误差越小

截距法更可靠

截距法受电流表分压影响小,精度优于斜率法

水塔供水系统对应 →电池 U-I 关系

水塔高度=电动势,水流量=电流,管道阻力=内阻,水压=路端电压

U = \varepsilon - Ir

9第 9 页 · U-I图像（路端电压-电流图

短路电流

短路电流：背景、意义与延伸了解

短路电流

短路电流：背景、意义与延伸了解

10第 10 页 · 短路电流

本节要点

✓U-I图象纵截距对应电动势，斜率绝对值对应内阻
✓图象不通过原点源于系统误差，下倾反映电池非理想
✓短路电流无法直接测量，只能由图象线性区外推
✓取平均降低偶然误差，线性拟合兼顾降误差与辨异常
✓电流表内外接引入方向相反的系统误差，是核心边界

延伸主题：伏安法测电阻的系统误差分析电池放电过程中内阻的变化补偿法精确测量电动势

11第 11 页 · 本节要点

课后思考

先合上书，自己想清楚再看参考答案——好的思考比标准答案更值钱。

1多次测量取平均法和U-I图象法各有什么无法消除的误差来源？

参考答案取平均只能减小随机误差，系统误差（如电表精度、读数偏差）消不掉；图象法受描点精度、拟合方式影响，读截距和斜率也带视读误差。

2电池用旧后，ε和r会怎么变？U-I图线会有什么表现？

参考答案电池老化，ε减小，r增大。U-I图线斜率绝对值变大（更陡），纵截距下降，反映电动势衰减和内阻上升。

3若电压表不是理想电表（有内阻），U-I图线的截距和斜率还准确反映ε和r吗？

参考答案不准确。电压表分流使测得的U偏小、I偏大，图线斜率绝对值变小、截距偏低。需用修正公式ε=U+I(R_V+r)重新计算。

12第 12 页 · 课后思考