数学大学
反常积分
微积分 · 第六章 积分法与反常积分
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反常积分
微积分 · 第六章 积分法与反常积分
反常积分(1)
反常积分把定积分推广到无穷区间：积分限取到无穷远。
无穷限定义
∫_a^∞ f dx = lim(∫_a^A f dx)
收敛含义
极限存在称收敛，不存在称发散
反常积分(2)
无界函数的反常积分（瑕积分）：在瑕点处取极限。
瑕点
函数在区间内无界的点
取限方式
从瑕点一侧逼近取极限
反常积分(3)
收敛性判别基础：与 p 积分和指数积分比较。
p 积分
∫1/x^p 在无穷区间 p>1 收敛
比较原理
不超过收敛积分的也收敛
反常积分(4)
对称区间上的反常积分要拆开算：不能想当然用奇偶对称。
拆限原则
任意内点拆成两个反常积分分别判断
发散即发散
只要一半发散，整体就发散
反常积分自测
点击作答
∫₁^∞ 1/x² dx 的收敛情况是？
本节要点
- ✓反常积分 = 定积分 + 取极限
- ✓无穷限与瑕点两类分别处理
- ✓p 积分是比较判别的标尺
- ✓对称区间必须拆开分别判断
延伸主题：判别三个反常积分敛散算一次瑕积分完整题
课后思考
先自己回答，再展开参考答案——能讲出来才算真懂。
1反常积分与普通定积分的本质区别是什么？
参考答案定积分在有限区间上对有界函数求和；反常积分把区间推到无穷或函数推到无界，其值由极限定义——极限存在才有意义，不存在就发散，不能套普通公式硬算。
2为什么对称区间上的反常积分不能直接用奇偶性？
参考答案奇偶性结论依赖两个半边积分各自收敛；若其中一边发散，整体就是发散，谈不上对称抵消。经典陷阱是 ∫_{−∞}^{∞} x dx 误判为零。
3p 积分结论为什么值得记住？
参考答案它是比较判别的标尺：绝大多数无穷积分与瑕积分都能与 p 积分比对敛散。记住「无穷限 p>1 收敛、瑕点 p<1 收敛」两条，判别效率极高。