中心对称

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✦ 中心对称数学中心对称对称点
几何变换中心对称旋转180°图形判定

中心对称

看穿"绕一点旋转180°"的几何本质，掌握判定、构造与证明

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几何变换中心对称旋转180°图形判定

中心对称

看穿"绕一点旋转180°"的几何本质，掌握判定、构造与证明

1第 1 页 · 中心对称

作图：作点关于中心的对称

上一页我们知道了中心对称——绕一点旋转 180° 后图形重合。但真要画图，「旋转 180°」怎么落到纸面上？这页就拆解：从一个点出发，怎么找到它关于中心 O 的对称点。

核心性质
O 是 PP' 的中点：O、P、P' 三点共线且 OP = OP'
作图三步
连 OP → 沿 OP 反方向延长 → 截取 OP' = OP
判定口诀
「共线 + 等距」两条件缺一不可
典型应用
证明三点共线、构造全等三角形、化分散线段共中点
P 与 -P 关于原点对称对应 →作点关于中心的对称点

O 就是坐标原点；P、P' 的坐标分量互为相反数

x′=2xO−x,y′=2yO−yx' = 2x_O - x,\quad y' = 2y_O - y
2第 2 页 · 作图：作点关于中心的对称

中心对称

上一页我们能画出一个点的对称点，那"中心对称"本身该如何严格定义？它和我们熟悉的轴对称是一回事吗？

中心对称的定义
图形F绕点O旋转180°后与F'重合，则F与F'关于O中心对称
对称点的核心性质
每对对称点的连线都过对称中心，且被它平分
与轴对称的区别
轴对称是镜像翻转，中心对称是原地旋转180°
对应线段与角
对应线段平行（或共线）且相等；对应角相等
原地转半圈对应 →中心对称

转之前站的位置和转180°后的位置，关于脚下那一点中心对称

3第 3 页 · 中心对称

对称中心

上页我们学会了「给定一个点 P 和中心 O，怎么画出它关于 O 的对称点 P'」。这一步的关键就是 O 的角色——它就是这对点的对称中心。现在我们正式把这个概念拎出来。

定义
两个点若关于点 O 对称，则 O 叫作这两个点的对称中心，这对点叫中心对称点。
三点共线
A、A' 的对称中心 O 一定在 A 与 A' 的连线段上，且 O 是 AA' 的中点。
等距条件
OA = OA'，这是判断 O 是否为对称中心的充要条件。
图形延伸
一个图形的所有点关于 O 各取对称点，所得新图形叫原图形的中心对称图形。
门把手把门推开 180°对应 →点关于对称中心 O 的对称

门轴就是对称中心，门上每一点都转到另一侧，门轴本身不动

4第 4 页 · 对称中心

中心对称的性质

上一页你学会了作一个点关于中心的对称点。会画只是第一步——更关键的是：两个图形一旦关于某点中心对称，对应点和线段之间有哪些'必然成立'的关系？这一页，把它们捋清楚。

对应点连线过对称中心
每对对称点的连线必经过对称中心，且被对称中心平分
对应线段平行且相等
由旋转180°重合直接推出，方向相反或共线，长度相等
本质是180°旋转
中心对称等价于绕对称中心旋转180°后与原图完全重合
典型应用
证线段相等/平行、判断中心对称图形、解最短路径问题
钟表12点和6点对应 →中心对称的对应点

绕表盘中心转半圈，12落到6、3落到9——所有对径点距中心都相等

P(x,y)→O(a,b)(2a−x, 2b−y)P(x, y)\xrightarrow{O(a,b)}(2a-x,\ 2b-y)
5第 5 页 · 中心对称的性质

对称点

性质那页我们频繁用到'对称点'——证明平行四边形对角线互相平分时，就是两端点关于交点互为对称点。但'对称点'到底是什么？拆开看只有三条：A、O、A'共线，OA等于OA'，O在AA'正中间。

定义
点A'是点A关于O的对称点⟺O是线段AA'的中点
双向性
A关于O的对称点是A'，反之A'关于O的对称点也是A
唯一性
给定点O和点A，A的对称点A'位置唯一确定
典型应用
作对称图形、证平行四边形对角线互相平分等
原地转身180°对应 →对称点

脚下那点是中心O，转身前后两个位置就是一对对称点

OA′⃗=−OA⃗\vec{OA'} = -\vec{OA}
6第 6 页 · 对称点

中心对称图形

前几页讲的是「两个点」之间的对称——连线过中心且被平分。现在把视线拉到整个图形：如果图形上每个点，过对称中心都能找到它的伙伴点仍在图形内，这图形就叫中心对称图形。

存在对称中心
图上存在一点 O，绕它旋转 180° 后图形与自身完全重合
对应点连线过中心
图形上每一点与它的对称点连线必经过 O，且被 O 平分
整体绕 O 转 180° 不变
不只个别点，每个点都落到图形原来的位置上
典型实例
平行四边形、圆、线段、正六边形；偶数边的正多边形都具备
偶数叶片的风车对应 →中心对称图形

绕轴转 180° 后与原来重合；但奇数叶片的风车不具备此性质

7第 7 页 · 中心对称图形

关于原点对称的点的坐标

前面我们用尺规作出了点关于中心的对称。现在切换到坐标系：已知 P(a, b)，关于原点对称的点 P' 坐标怎么写？

坐标变换规则
P(a, b) 关于原点的对称点为 P'(-a, -b)
符号同时取反
横、纵坐标同时变号——两个一起变，不能拆开
与轴对称的区分
x 轴对称只纵坐标变号，y 轴对称只横坐标变号——原点对称两边都变
原地转 180° 面朝反方向对应 →点关于原点对称

「右」变「左」、「前」变「后」——两个维度一起翻转，对应横纵坐标同时取反

P(a,b)→关于原点P′(−a,−b)P(a, b) \xrightarrow{\text{关于原点}} P'(-a, -b)
8第 8 页 · 关于原点对称的点的坐标

本节要点

  • ✓把一点绕中心转180°，对应点与中心等距且共线
  • ✓作图关键是连心线并反向等距延伸
  • ✓中心对称保持距离、角度、面积与图形形状
  • ✓平面上一点(x,y)关于原点对称后为(-x,-y)
  • ✓中心对称图形绕某点旋转180°后与自身重合
延伸主题：中心对称与轴对称的辨析旋转180°的坐标推导位似变换的联系
9第 9 页 · 本节要点

课后思考

先自己思考，再对照参考答案看思路。三题分别对应核心回顾、应用、迁移。

1把一个图形绕某点旋转180°后与另一图形重合，这个点一定是唯一的吗？为什么？

参考答案唯一。对称中心是每对对应点连线段的中点，而两点的中点唯一确定，所以所有对应点对都指向同一个中心。

2已知某图形绕一点旋转180°后，部分对应线段平行且相等，能由此推出整体对称吗？

参考答案可以。中心对称下所有对应线段都平行且相等；反之若多组对应线段平行等长，且各自中点重合于一点，就能确定该点为对称中心。

3中心对称与轴对称在最本质的维度上有何联系与区别？能否统一到更高层次？

参考答案本质区别：轴对称是关于直线镜像（翻转），中心对称是关于点旋转180°。更高层次看，两者都是刚体变换，统一于欧氏变换群。

10第 10 页 · 课后思考