二次函数与一元二次方程、不等式

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二次函数数形结合方程不等式判别式

二次函数与方程、不等式

从同一张图看清方程根、不等式解、函数零点，并掌握判别式与单调性的边界

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二次函数数形结合方程不等式判别式

二次函数与方程、不等式

从同一张图看清方程根、不等式解、函数零点，并掌握判别式与单调性的边界

1第 1 页 · 二次函数与方程、不等式

二次函数的标准形式

上一页我们看到二次函数与方程、不等式天然相连——本质上都在研究同一条抛物线。但抛物线本身长什么样、由什么决定？这就要回到它最标准的样子。

a 决定开口方向
a>0 开口向上，a<0 开口向下；|a| 越大抛物线越窄
c 是 y 轴截距
x=0 时 y=c，图像必过点 (0, c)，单独成项
b 决定对称轴位置
对称轴 x=-b/(2a)，b 必须与 a 配合才有意义
边界与退化
a=0 不再是二次函数；b=0 对称轴为 y 轴；c=0 过原点
U 形山谷与 ∩ 形山峰对应 →y=ax²+bx+c

a 决定曲线朝向；c 是与 y 轴交点的高度；b 决定对称轴位置

y=ax2+bx+c (a≠0), x=−b2ay = ax^2 + bx + c \ (a \neq 0), \ x = -\frac{b}{2a}
2第 2 页 · 二次函数的标准形式

顶点与对称轴

配方法推导顶点坐标，几何特征图解

顶点与对称轴
配方法推导顶点坐标，几何特征图解
3第 3 页 · 顶点与对称轴

图象的平移变换

从 y=ax² 到 y=a(x-h)²+k，分五步看清每一步平移如何叠加。

1
选定基准
以最简形式 y=ax² 为起点，它的顶点是原点 (0,0)
2
水平平移
把 x 替换成 (x-h)，h>0 时整条抛物线向右平移 |h| 个单位
3
垂直平移
末尾加 k，k>0 时抛物线向上平移 |k| 个单位
4
顶点位移
顶点从原点 (0,0) 平移到 (h,k)，h 控左右、k 控上下
5
形状守恒
a 决定开口方向和形状，平移不改变 a，所以形状完全保留
4第 4 页 · 图象的平移变换

判别式的定义

上一页我们看到抛物线可以上下平移。现在换个问题:方程 ax²+bx+c=0 的解在哪儿?其实就是问抛物线与 x 轴有没有交点。判别式 Δ 就是回答这个问题的'探测器'。

代数定义
Δ=b²-4ac,由方程 ax²+bx+c=0 的三个系数直接算出
几何意义
Δ 决定抛物线 y=ax²+bx+c 与 x 轴交点的个数
三种情形
Δ>0 两个交点;Δ=0 唯一切点;Δ<0 无交点
边界临界
Δ=0 时顶点恰落在 x 轴上,解 x=-b/2a
桥拱与水面对应 →抛物线与 x 轴

桥拱远在水面上方=Δ<0;刚好触及水面=Δ=0;穿入水中=Δ>0

ax2+bx+c=0⇒a ⁣(x+b2a)2=b2−4ac4aax^2+bx+c=0 \Rightarrow a\!\left(x+\tfrac{b}{2a}\right)^2=\dfrac{b^2-4ac}{4a}
5第 5 页 · 判别式的定义

Δ的三种取值情况

从判别式向下分三支，每支同时给出图象与方程两方面的结论。

图解渲染中…
B1：Δ>0时，抛物线从x轴一侧穿越到另一侧C1：Δ=0时，抛物线顶点恰好落在x轴上D1：Δ<0时，抛物线整体在x轴上方或下方
6第 6 页 · Δ的三种取值情况

三种情况的对比辨析

同一个 Δ，方程里判根的个数，图象上看抛物线与 x 轴的关系。两视角对齐，才能打通函数、方程与不等式。

方程视角（看根）
  • Δ>0：方程有两个不相等的实数根
  • Δ=0：方程有两个相等的实数根
  • Δ<0：方程没有实数根
图象视角（看交点）
  • Δ>0：抛物线与 x 轴相交于两个点
  • Δ=0：抛物线与 x 轴相切于一点
  • Δ<0：抛物线与 x 轴没有交点
判根走方程视角，解不等式走图象视角——抛物线与 x 轴的相对位置就是解集本身。
7第 7 页 · 三种情况的对比辨析

求根公式

前页我们用 Δ 判别了根的存在性。但 Δ ≥ 0 时，根到底等于几？解铃还须系铃人——回到 Δ 的老家，把 ax²+bx+c=0 拆开重新组装。

归一化
方程两边除以 a，把二次项系数变成 1，为配方清障
配方
两边同加 (b/2a)²，左边凑成完全平方 (x+b/2a)²
Δ 现身
右边化简为 (b²-4ac)/(4a²) = Δ/(4a²)，Δ 自然显形
开方求解
平方根的 ± 给出两根：x = (-b ± √Δ)/(2a)
用积木搭方块对应 →用配方凑完全平方

已有 x²+(b/a)x 像缺一角的积木；补上 (b/2a)² 才能拼成完整方块

ax2+bx+c=0⇒(x+b2a)2=Δ4a2⇒x=−b±Δ2aax^2+bx+c=0 \Rightarrow \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{\Delta}{4a^2} \Rightarrow x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}
8第 8 页 · 求根公式

零点的定义

函数值为0的点，即f(x)=0的解

零点的定义
函数值为0的点，即f(x)=0的解
9第 9 页 · 零点的定义

零点与x轴交点

三个框两两双向等价——同一个 x₀ 在代数、方程、几何里的三种叫法，可任意互推。

图解渲染中…
z1：f(x₀)=0 中，x₀ 称函数零点z2：ax²+bx+c=0 的解叫方程根z3：抛物线与 x 轴交点的横坐标
10第 10 页 · 零点与x轴交点

求二次函数零点的方法

从 f(x) 到零点集合，要走完五步——每一步都决定下一步该怎么走。

1
列方程
把 f(x)=... 改写成 ...=0，得到一元二次方程
2
识系数
对照 ax²+bx+c=0，读出 a、b、c 的值（含符号）
3
算判别式
代入 Δ=b²-4ac 算出一个具体数，是后续分岔的开关
4
判情况
看 Δ 的正零负，分别走'两根'、'一根'、'无根'三条路
5
写零点
把求得的根写成集合形式 {x₁,x₂}、{x₀} 或 ∅
11第 11 页 · 求二次函数零点的方法

一元二次不等式标准形式

前面我们用判别式和求根公式解过 ax²+bx+c=0，找到的是孤立的 x 值。把等号换成 > 或 <，问题立刻从『找点』变成『找一片连续区间』——这就是一元二次不等式。

标准形式
左边是二次三项式 ax²+bx+c，右边化为 0，只剩 > 或 <
从点到区间
方程找根是『一个点』，不等式求的是连续 x 范围
几何解读
对应抛物线在 x 轴上方(>0)或下方(<0)部分的 x 取值
关键前提
a≠0 才是『二次』；a=0 时退化为一次不等式或常数
地形海拔对应 →二次函数图象

>0 是陆地（x 轴之上），<0 是海面以下，解集就是『陆地』或『海里』覆盖的范围

ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0(a≠0)ax^2+bx+c>0 \quad \text{或} \quad ax^2+bx+c<0 \quad (a\neq 0)
12第 12 页 · 一元二次不等式标准形式

不等式解集的几何原理

函数值为正/负对应图象在x轴上方/下方区域

不等式解集的几何原理
函数值为正/负对应图象在x轴上方/下方区域
13第 13 页 · 不等式解集的几何原理

Δ>0时不等式求解

Δ>0 时抛物线与 x 轴交于两点，由此一步步推出不等式解集。

1
求两根
用求根公式算出两个不同实根，确定分界点
2
比大小
设小根 x₁、大根 x₂，统一书写顺序
3
标数轴
把两个根标在数轴上，实数被切成三段
4
判符号
由 a 的正负判断抛物线在每段的正负
5
写解集
>0 取根外两段，<0 取根内一段
14第 14 页 · Δ>0时不等式求解

Δ=0时不等式求解

Δ=0时抛物线与x轴只有一个切点，由此推出不等式的解集。

1
因式分解
Δ=0有唯一实根x₀，函数写成a(x−x₀)²
2
判断开口
看a的正负：a>0开口向上，a<0开口向下
3
分析平方项
(x−x₀)²恒≥0，仅在x=x₀时等于0
4
对照不等号
结合a的符号与不等号方向，给出解集
15第 15 页 · Δ=0时不等式求解

Δ<0时不等式求解

Δ<0意味着抛物线与x轴无交点，此时符号只由a决定。

1
读判别式
Δ<0 ⟹ 抛物线与x轴无交点，方程无实根
2
看a定开口
a>0 开口向上，a<0 开口向下
3
定图象位置
无交点+开口方向，整条抛物线恒在x轴一侧
4
写解集
上方则>0恒成立(解集R)，<0无解(∅)；下方反之
16第 16 页 · Δ<0时不等式求解

三种情况解集汇总

Δ的三种取值对应三种解集形态，搞混开口方向与解集位置是常见失分点。一表看清全部边界。

Δ≥0：有实根
  • 零点：Δ=0 一个重根；Δ>0 两个不同根
  • >0解集：a>0 取两根外，a<0 取两根间
  • <0解集：a>0 取两根间，a<0 取两根外
  • 关键：根的位置 + a 符号共同决定
Δ<0：无实根
  • 零点：抛物线与 x 轴无交点
  • >0解集：a>0 为 R，a<0 为 ∅
  • <0解集：a>0 为 ∅，a<0 为 R
  • 关键：只看 a 符号，无根可谈
Δ≥0 看根的位置决定分段，Δ<0 看 a 的符号决定空或满——前者靠图象，后者靠代数。
17第 17 页 · 三种情况解集汇总

三者的关系网络

二次函数是母体，分别令 y=0、y>0 即得方程与不等式；抛物线图象把它们统一呈现。

图解渲染中…
a1：本源：方程与不等式都由它变换而来a2：翻译官：把代数关系可视化b2：零点是把 x 轴划段的分界点
18第 18 页 · 三者的关系网络

韦达定理

前几页我们用求根公式'硬算'了两根。但很多时候我们要的不是根本身，而是它们的'和'与'积'——硬解再算绕远路。韦达定理绕过具体根，从 a、b、c 直读两根的两条代数密码。

两条核心关系
若 ax²+bx+c=0 两根为 x₁、x₂，则 x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a
为什么成立
方程改写为 a(x-x₁)(x-x₂)=0，展开对比 a、b、c 即得——本质是因式分解的对偶
何时派上用场
求两根之和与积、判根符号范围、构造以两已知根为根的新方程——都无需先求具体根
适用边界
a≠0（否则退化为一次方程）；实根要求 Δ≥0，否则 x₁、x₂ 为共轭复数但公式仍成立
两扇门各自的钥匙对应 →x₁+x₂ 与 x₁x₂ 这对密码

原本要挨个开门各找钥匙，韦达把两根合并成"和"与"积"两组密码——只凭这两组就能反推两根

x1+x2=−ba,x1x2=cax_1+x_2=-\dfrac{b}{a},\quad x_1x_2=\dfrac{c}{a}
19第 19 页 · 韦达定理

知识要点回顾

  • ✓图象是底座——所有问题都能回到抛物线与x轴的关系
  • ✓判别式Δ是统一开关：根、零点、不等式都受它支配
  • ✓解不等式的本质是看抛物线在x轴上方还是下方
  • ✓韦达定理从系数逆推根，打开新的求解通道
延伸主题：含参二次函数讨论分式与高次不等式函数零点存在定理
20第 20 页 · 知识要点回顾

思考与拓展

深入问题与延伸方向

思考与拓展
深入问题与延伸方向
21第 21 页 · 思考与拓展