数学大学
偏导数与方向导数
多元微积分（先修课） · 第三章 多元函数的微分及其应用
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数学大学
偏导数与方向导数
多元微积分（先修课） · 第三章 多元函数的微分及其应用
多元函数的一阶偏导数
偏导数是「只动一个变量」的变化率：其余变量全部固定。
固定其余
对 x 求偏导时把 y 当常数
几何意义
曲面被竖直平面截得曲线的斜率
多元函数的高阶偏导数
偏导数再求偏导得高阶偏导：混合偏导连续时与求导次序无关。
四种二阶偏导
f_xx、f_xy、f_yx、f_yy
次序可交换
混合偏导连续时 f_xy = f_yx
多元函数的方向导数
方向导数考察沿任一方向的变化率：偏导数只是沿坐标轴的特例。
方向导数
沿单位方向 l 的变化率
梯度联系
方向导数 = 梯度与方向向量的数量积
本节要点
- ✓偏导数：固定其余变量的变化率
- ✓混合偏导连续时与次序无关
- ✓方向导数 = 梯度 · 方向
延伸主题：算一个函数的四个二阶偏导沿给定方向算方向导数
课后思考
先自己回答，再展开参考答案——能讲出来才算真懂。
1偏导数存在能不能说明函数连续？
参考答案不能。偏导数只管两条坐标轴方向的变化，其他方向可以断裂；经典反例在某点沿轴可导却沿对角线不连续。多元函数的连续与偏导存在互不蕴含。
2方向导数与梯度是什么关系？哪个方向变化最快？
参考答案方向导数等于梯度与单位方向的点积；当方向取梯度方向时点积最大，所以梯度方向是函数增长最快的方向，其模就是最大变化率。
3二阶混合偏导在什么条件下与求导次序无关？为什么这个条件重要？
参考答案混合偏导连续时与次序无关（Clairaut 定理）。重要在于：工程与物理中的函数通常满足该条件，可放心交换次序简化计算；不满足时 f_xy 与 f_yx 是不同的量。