你从小学就会 2³=8。但当这个式子变成 y=xᵃ 时，a、n、结果各叫什么名字？这一页我们给它们三个定岗。

幂的指数从正整数向外扩展，每一步都为了让运算规则继续成立。

x²、x³ 是「一个一个函数」地分析。但把指数 α 当作可调参数，研究「α 变时 y=x^α 的图像怎么变」——单个函数的视角就不够了，这正是引入幂函数的原因。

上一页把指数从整数一路扩展到了实数。现在把它装进函数里：让 x 站到底数位置（做自变量），让 α 钉在右上角（固定不动）——这就得到幂函数 y=x^α。

从定义域到性质的完整路径

研究幂函数性质，按定义域→解析式→图像→性质四步推进，每步都依赖上一步的结论。

按指数α的正、负、整分族分类，逐类点亮典型图像。

同学们最常踩的坑：把 x⁻¹ 和 x 当成同类函数。区别全在 x=0 这条线上。

上一页我们对比了 α>0 与 α<0 两族图像，差别巨大。但别被表象迷惑——所有差别都能从指数 α 这一条线推出来。抓手是三个核心性质：定义域、奇偶性、单调性。注意，这三者并不平等。

幂函数 f(x)=√x 与 g(x)=1/√x，下列哪一项是它们在 (0,+∞) 上必然共有的性质？

上一节看到幂函数图像有升有降——这种'上升下降'到底如何精确刻画？现在把'单调'的直观感受用全称量词写下来。

用纯代数方法判断幂函数的大小关系，每步都对应一次逻辑推进。

同一道比较题：x^(2/3) 与 x^(1/2) 谁大谁小，三种变形各走一遍。

三招联动：factor 把正负交给括号，通分指数定位差距为 1/6，换元 t=x^(1/6) 把分式指数化为整数幂，单调性结论立现。

从幂函数式出发，按变形→对照→结论三步走完成单调性判断。

学完幂函数，我们整理了一套'研究函数的系统方法'。现在挑个看起来人畜无害的函数 y = x + 1/x 来实操——它长得简单，却藏着不少反直觉的东西。

分式函数求定义域，核心是排除让分母为零的点。四步走完，每步都有明确动作。

沿 求导→判号→分区间 三步走，看 y=x+1/x 的单调性如何逐段得出。

x⁻¹看着像幂函数，但加号让它变成另一类函数——区分的关键在形式。

• ✓指数α是幂函数的「基因」，决定图像全部行为
• ✓函数研究有系统范式：定义域→值域→奇偶→单调→凹凸
• ✓单调性双路径：看图辨方向，代数变形查符号
• ✓分拆与换元让非幂函数问题也能借用幂函数方法
• ✓幂函数族跨越多种类型，简单的式子藏着丰富的行为

三道问题带回去琢磨。先自己想一遍，再看参考答案——答案只是思考路径，不唯一。