直线与圆、圆与圆的位置关系

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✦ 直线与圆、圆与圆的位置关系数学直线与圆、圆与圆的位置关弦长公式
位置关系数形结合边界情形圆系方程

直线与圆、圆与圆的位置关

看清直线与圆、圆与圆所有位置关系的几何直观、代数判据与边界情形

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位置关系数形结合边界情形圆系方程

直线与圆、圆与圆的位置关

看清直线与圆、圆与圆所有位置关系的几何直观、代数判据与边界情形

1第 1 页 · 直线与圆、圆与圆的位置关

坐标法三步曲

上一页认识了位置关系有哪几类，但要「算出来」靠什么？数学家给了一套三步走的判别法——坐标法。

算距离
把直线与圆的方程整理好，算出圆心到直线的距离 d，或两圆心距
比半径
直线与圆比 d 与 r；圆与圆需同时比 d 与 r₁+r₂、|r₁−r₂|
下结论
依据大小关系直接判别：相离、相切、相交（含外切、内切、内含）
医生诊断病情对应 →坐标法三步判别

测指标→对照阈值→下结论，每步都不可跳过

d=∣Ax0+By0+C∣A2+B2d = \dfrac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}
2第 2 页 · 坐标法三步曲

直线与圆的位置关系

上页用两圆心距与半径和/差判别圆与圆位置。一条直线可以看作「半径无穷大的圆」——同样的思路，把圆心到直线的距离与半径比一比，就能判断位置关系。

三种位置关系
按公共点个数分：相离 0 个、相切 1 个、相交 2 个
距离判别
圆心到直线距离 d 与半径 r 比较：d>r 相离，d=r 相切，d<r 相交
相切的几何性质
切点处半径与直线垂直，是切线判定与性质的核心
相交的几何计算
弦长 l = 2√(r²-d²)，半径、弦半、垂距构成直角三角形
笔直公路与圆形池塘对应 →直线与圆位置关系

路远离池塘→相离；路擦池边→相切；路穿池塘→相交；池心到路的最短距离就是 d

d=∣Ax0+By0+C∣A2+B2d = \dfrac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}
3第 3 页 · 直线与圆的位置关系

用方程判断直线与圆的位置

上页用'圆心到直线距离比半径'做几何判断，本页换条路——把两个方程联立，让计算结果告诉我们答案。代数法处理复杂数字时更稳。

联立消元
将直线方程代入圆方程，化为一个变量的二次方程
判别式 Δ
Δ = b² - 4ac，是判断位置关系的核心
三种符号
Δ > 0 相交，= 0 相切，< 0 相离
斜率前提
直线写成 y = kx+b 时，1+k² ≠ 0 恒成立
垂直线特判
x = m 时直接看 m 到圆心距离比半径
翻行程表算两人能否同框对应 →代数法判 Δ

几何看距离，代数算 Δ，结果等价

Δ=b2−4ac{>0相交=0相切<0相离\Delta = b^2 - 4ac \begin{cases} > 0 & \text{相交} \\ = 0 & \text{相切} \\ < 0 & \text{相离} \end{cases}
4第 4 页 · 用方程判断直线与圆的位置

圆心到直线的距离与半径的

上一页用方程判别式看根的情况。这里有更直接的几何方法——只看圆心到直线的距离 d 和半径 r 哪个大，位置关系就出来了。

距离 d
圆心 O 到直线 l 的垂直距离，刻画直线「离圆心有多近」
半径 r
圆自身的尺度，决定直线要多近才碰到圆
三种情形
d<r 相交两交点；d=r 相切一切点；d>r 相离零交点
几何法优势
无须解方程，几何意义直观，常用于求切线或参数范围
射击打靶对应 →d 与 r 的比较

弹孔到靶心距离 d，靶半径 r；d<r 命中，d=r 擦边，d>r 脱靶

d=∣Ax0+By0+C∣A2+B2d = \dfrac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}
5第 5 页 · 圆心到直线的距离与半径的

弦长公式

弦长公式：背景、意义与延伸了解

弦长公式
弦长公式：背景、意义与延伸了解
6第 6 页 · 弦长公式

圆与圆的位置关系

上一页判断线和圆的远近,看的是「圆心到直线的距离」。两个圆之间呢?不能再用一条直线,得看两个圆心之间的距离 d,再去比 R+r 与 |R-r|。

五种位置关系
从远到近:外离、外切、相交、内切、内含(同心是内含特例)
圆心距 d 定亲疏
设大圆 R、小圆 r(R≥r),只需比 d 与 R+r、|R-r| 即可归类
公共弦⊥连心线
两圆相交时,连心线垂直平分公共弦;切点必落在连心线上
池塘里两圈扩散的涟漪对应 →两圆的五种位置

外圈对应 R+r,内圈对应 |R-r|:两圈水波由远及近演示五种状态

{d>R+r外离d=R+r外切∣R−r∣<d<R+r相交d=∣R−r∣内切d<∣R−r∣内含\begin{cases} d>R+r & \text{外离}\\ d=R+r & \text{外切}\\ |R-r|<d<R+r & \text{相交}\\ d=|R-r| & \text{内切}\\ d<|R-r| & \text{内含}\end{cases}
7第 7 页 · 圆与圆的位置关系

用圆心距与半径比较判断圆

上页用“圆心到直线的距离与半径”判断直线与圆；换成两个圆，要追踪的距离自然变成两圆心的距离。

先定比较基准
记圆心距为 d，设 R≥r＞0。坐标题先由圆心求 d，再比较 d 与 R+r、R−r。
外部位置
d＞R+r 时外离，没有公共点；d=R+r 时外切，恰好一个公共点。
相交区间
R−r＜d＜R+r 时相交，公共点个数为 2；其余类型由单侧边界决定。
内部边界
d=R−r 时内切；d＜R−r 时内含。R＞r、d=0 为同心；R=r、d=0 两圆重合。
地面上两个圆形围栏对应 →圆与圆的位置关系

圆心距对应围栏中心距，半径对应围栏大小；边界相触为相切，交于两点为相交。

\(R\ge r>0:\ d>R+r\Rightarrow\text{外离},\ d=R+r\Rightarrow\text{外切},\ R-r<d<R+r\Rightarrow\text{相交},\ d=R-r\Rightarrow\text{内切},\ 0\le d<R-r\Rightarrow\text{内含}\)
8第 8 页 · 用圆心距与半径比较判断圆

本节要点

  • ✓判断位置关系，本质是比较距离与半径
  • ✓坐标法三步曲：设坐标、列方程、解几何量
  • ✓弦长公式是勾股定理的代数改写
  • ✓圆与圆的关系取决于圆心距与半径和、差
  • ✓相切是临界，代数上看判别式为零
延伸主题：直线与圆的综合应用圆与圆的公切线圆锥曲线初步
9第 9 页 · 本节要点

课后思考

三个开放性问题检验理解程度

课后思考
三个开放性问题检验理解程度
10第 10 页 · 课后思考