多变量数据的统计描述与统计推断

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✦ 多变量数据的统计描述与统计推断医学多变量数据的统计描述与统多变量数据的统计描述

医学统计多变量分析统计推断

多变量数据的统计描述与统计推断

看懂多元统计方法如何处理医学数据，并辨清关键假设与适用边界

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医学统计多变量分析统计推断

多变量数据的统计描述与统计推断

看懂多元统计方法如何处理医学数据，并辨清关键假设与适用边界

1第 1 页 · 多变量数据的统计描述与统计推断

什么是多变量数据

你去体检，护士一口气量了血压、血糖、血脂、心率——这些数字排在同一张报告单上。它们合起来，就是多变量数据：同一个体身上同时测出的多个相关指标。

同一客体的多个变量

对同一个个体同时记录多个指标，血压、血糖、血脂、BMI 是典型例子

变量之间普遍相关

血压高的人往往血脂也高，这些变量在统计上不能视为独立，否则会丢掉关键信息

焦点是变量间的联动

分析多变量数据时，重点不在每个变量的分布，而在它们之间如何共同变化、彼此牵制

「多」的门槛是 p≥2

二元（两个变量）是多变量分析的起点，也是最常见的入门情形

听交响乐团演奏对应 →观测多变量数据

单听小提琴只听到旋律，整个乐团各声部合奏才是立体的音乐；多变量也是要合起来听

2第 2 页 · 什么是多变量数据

单变量 vs 多变量分析

单变量只看一个指标，多变量联合多个维度——本质区别在哪？

单变量分析

一次只看一个指标的变化
方法简单：均值、方差、直方图
忽略变量之间的关联
适合初步描述单一现象

多变量分析

同时考察多个指标的联合分布
方法复杂：相关、回归、降维
揭示变量间的相关与因果
适合多因素影响的真实问题

研究多个因素的联合影响时，必须升级到多变量分析。

3第 3 页 · 单变量 vs 多变量分析

多变量描述统计的核心指标

上页我们看到多变量分析要同时盯住 p 个变量。最朴素的思路：每个变量都算一个单变量代表数，再把它们打包——这就是均值向量和方差向量的来历。

均值向量

各变量样本均值拼成的 p 维列向量，指向数据的「重心」

方差向量

各变量方差拼成的向量，描述每个维度各自的离散程度

协方差矩阵

对角线是方差，非对角线是两两协方差，刻画维度间的共变关系

一群人的体检档案对应 →多变量描述统计量

均值向量=人群平均档案；方差向量=每项指标自身波动；协方差=体重↑血压↑的关联

\bar{X} = (\bar{X}_1, \ldots, \bar{X}_p)^T,\ s_{ij} = \mathrm{Cov}(X_i, X_j)

4第 4 页 · 多变量描述统计的核心指标

协方差矩阵的结构与意义

前一页我们用均值向量描述集中趋势，用各变量方差描述离散程度。可两两变量之间的关系散落在各对协方差里——协方差矩阵正是把"每变量自身变异"与"每对变量共同变动"一次性打包的矩阵工具。

p×p 对称方阵

p 个变量对应 p×p 矩阵；因 Cov(Xᵢ,Xⱼ)=Cov(Xⱼ,Xᵢ)，沿主对角线对称

对角线=方差

Σᵢᵢ 即变量 Xᵢ 的方差，反映其自身的离散程度

非对角线=协方差

Σᵢⱼ 为 Xᵢ 与 Xⱼ 的协方差，正负号揭示同向或反向变动

任一行的画像

第 i 行/列同时给出 Xᵢ 与全部变量(含自身)的关系，一图胜千言

多变量分析的基石

主成分分析、马氏距离、判别分析、典型相关等都建立在 Σ 之上

学生多科成绩分析表对应 →协方差矩阵

对角线=该生单科分数的波动范围；非对角线=两科分数共同涨跌的协方差

\Sigma = [\sigma_{ij}]_{p\times p},\ \sigma_{ii}=\text{Var}(X_i),\ \sigma_{ij}=\text{Cov}(X_i,X_j)\ (i\neq j)

5第 5 页 · 协方差矩阵的结构与意义

Hotelling's T²检验原理

单变量 t 检验问的是「样本均值离总体均值有多远」；多变量时，样本均值变成 p 维向量——关键是：在多维空间里怎样度量这个「远」？

假设形式

H₀: μ = μ₀ 是 p 维向量等式，要求 p 个分量均值同时等于指定值

马氏距离

用 S⁻¹ 对差异向量加权，综合考虑各变量尺度与彼此相关性

统计量构造

T² = n · D²，其中 D² 是 x̄ 到 μ₀ 的马氏距离

分布性质

H₀ 下 (n−p)/[p(n−1)]·T² 服从 F(p, n−p)

单变量退化

p = 1 时 T² = t²，恰好退化为单变量 t 检验的平方

数轴上点到原点的距离对应 →多维空间里均值向量到 μ₀ 的马氏距离

多维不仅看「多远」，还要把方向、尺度、相关性都折算进去

T^{2}=n(\bar{\mathbf{x}}-\boldsymbol{\mu}_{0})^{\top}\mathbf{S}^{-1}(\bar{\mathbf{x}}-\boldsymbol{\mu}_{0})

7第 7 页 · Hotelling's T²检验原理

Hotelling's T²的计算步骤

Hotelling's T² 检验五步走：从假设到决策的完整流程。

建立假设

设定原假设 H₀: μ = μ₀ 与备择假设 H₁

算均值与协方差

由样本算出均值向量 x̄ 与协方差矩阵 S

计算 T² 统计量

代入 T² = n(x̄-μ₀)ᵀS⁻¹(x̄-μ₀) 求值

转换为 F 统计量

用 F = [(n-p)/(p(n-1))]·T² 转成 F 分布

比较并决策

查 F 临界值或算 p 值，与 α 比较下结论

8第 8 页 · Hotelling's T²的计算步骤

两独立组的多变量检验

前面学的 Hotelling's T² 是把一个样本跟一个已知总体比——可现实里更常遇到的是两组人：甲药组和乙药组、新教学法和旧教学法——要回答的是，多个指标整体上有没有差别？

检验场景

两组独立样本，各自含 n 个观测、p 个指标

原假设

H₀: μ₁ = μ₂，两均值向量整体相等

统计量

双样本 Hotelling's T²，用均值差向量构造

t 检验推广

p=1 时退化为两样本 t² 的等价形式

协方差前提

需 Σ₁ = Σ₂，否则用近似 F 检验校正

十项全能综合得分对应 →双样本均值向量比较

不能只比一项速度，要看十项加权的总分有没有实质差距

T^2 = (\bar{x}_1 - \bar{x}_2)' \left[S_p\left(\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}\right)\right]^{-1} (\bar{x}_1 - \bar{x}_2)

9第 9 页 · 两独立组的多变量检验

两配对组的多变量检验

上一页我们处理了两组独立对象。设想同一批病人在服药前与服药后各测了血压、血糖、心率——病人即对照，独立的检验方法已不适用，需换一套思路。

配对的本质：同体重复测量

同一对象的多次测量构成配对，区别于两个独立人群

差值向量 d

每人对所有指标计算前后差，得 N×p 的差值矩阵

差值上的 T² 检验

零假设：差值均值向量为零；即多项指标整体无变化

前后测与配对设计

同一对象两条件测量、配对匹配、重复测量数据均适用此方法

配对的统计增益

吸收个体基线差异，灵敏度通常高于独立组检验

同一批学生补习前后成绩对比对应 →配对多变量检验

不比较两组人谁高，而是看这群人各自进步多少；每人对应差值向量的一行

T^2 = n\bar{\mathbf{d}}^T S_d^{-1} \bar{\mathbf{d}}, \quad F = \frac{n-p}{p(n-1)}T^2 \sim F_{p,n-p}

10第 10 页 · 两配对组的多变量检验

多变量方差分析（MANOVA）概述

前两页的 Hotelling's T² 只解决两组对比。现实中更常遇到三组、四组甚至更多——三种教学法、四个地区——MANOVA 就是为这种 k≥2 组场景设计的。

核心问题

同时检验 k≥2 组的均值向量 μ₁,…,μₖ 是否全部相等

方法谱系

k=2 时等价于 Hotelling's T²，单因变量时退化为单因素 ANOVA

四类统计量

Wilks' Λ、Pillai 迹、Hotelling-Lawley 迹、Roy 最大根

假设与稳健性

需多元正态 + 协方差齐性（Box's M）；不齐时 Pillai 迹最稳健

三种教学法的整体评估对应 →MANOVA

把期末、期中、平时成绩合到一张成绩单上比，比只看一门分数更能反映方法差异

\Lambda=\dfrac{|\mathbf{E}|}{|\mathbf{E}+\mathbf{H}|},\;H_0:\mu_1=\cdots=\mu_k

11第 11 页 · 多变量方差分析（MANOVA）概述

四大检验统计量

上页说MANOVA要回答'组间均值向量是否相同'。同一个问题，统计学家给了四种不同的'判官'来审——它们的脾气不同，给出的结论也可能不同。

Wilks Lambda

最常用的似然比法，比较组内与总协方差的比值，Λ越接近0组间差异越大

Pillai轨迹

把各判别维度的差异累加，对非正态和异方差最稳健，实际推荐首选

HL轨迹

Hotelling-Lawley，直接累加全部特征根不标准化，数学最简洁但敏感

Roy最大根

只看最大的一个特征根，最敏感也最'赌'：方向对了最强，错了偏宽松

四位评委评同一支舞对应 →四个MANOVA检验统计量

Wilks看综合、Pillai累加各动作差、HL直接累加幅度、Roy只盯最惊艳那段

\Lambda=\prod\frac{1}{1+\lambda_i},\;V=\sum\frac{\lambda_i}{1+\lambda_i},\;H=\sum\lambda_i,\;\theta=\max\lambda_i

12第 12 页 · 四大检验统计量

MANOVA结果解读

上一节认识了四个检验统计量，但拿到 MANOVA 输出后只看 p 值够吗？显著了之后又该怎么往下挖？这页讲判读的整体逻辑与边界。

选对统计量

平衡设计优先 Wilks' Λ；担心存在一个支配性效应时改用 Roy's 最大根

看整体显著性

p<α 只能拒绝 H0：至少两组均值向量不同，无法定位是哪两组、哪个因变量

显著后做 post-hoc

判别分析找最佳线性组合；或逐因变量单因素 ANOVA 并用 Bonferroni 校正

边界与陷阱

样本量小致功效不足漏检；因变量高度共线会扭曲统计量、放大一类错误

校正不可省

k 次两两比较把 α 调到 α/k，否则累积第一类错误率远超设定的显著性水平

体检诊断流程对应 →MANOVA 结果解读

omnibus 检验是『有没有病』的初筛，显著后再做 post-hoc 定位到具体病灶

13第 13 页 · MANOVA结果解读

重复测量设计的特点

上一页的两配对组检验只是重复测量的最小情形——同一对象只测两次。这一页把视野拉宽，看「同一个人被反复测」这种设计到底带来了什么。

同对象多次测量

同一批受试者在不同条件或时间点接受多次测量，属于 within-subject 设计

个体差异被自动消化

每个人做自己的对照，组间变异不再进入误差项

观测值不再独立

同一受试者多次测量彼此相关，必须借助多变量方法处理协方差结构

样本更省、检验力更高

误差项缩小后，达到同等检验力所需样本量比独立组设计少

需检验球形性

若违反 sphericity（所有配对差分方差齐），需用 Greenhouse-Geisser 校正

一个学生每次月考的成绩对应 →重复测量设计

学生自己跟自己比，水平高低这个干扰被抵消，看的只是变化幅度

\sigma^2_{error}^{RM}=\sigma^2(1-\rho)

14第 14 页 · 重复测量设计的特点

单变量 vs 多变量方法

同一份重复测量数据，既能用 RM-ANOVA 拆开看，也能用多变量方法整体看。分水岭在协方差结构。

单变量方法

逐个因变量做 F 检验
要求严格满足球形假设
球形满足时：效能最高
球形违反时：F 值膨胀、α 失控

多变量方法

把测量视为整体向量统一检验
只要求多元正态，不要求球形
样本够大时：结果稳健可靠
样本小时：效能不如 RM-ANOVA

先跑 Mauchly 球形检验：满足用 RM-ANOVA（效能高）；违反用 RM-MANOVA 或 GG 校正。球形检验是分水岭。

15第 15 页 · 单变量 vs 多变量方法

球形检验与校正方法

上一页我们讲了重复测量设计——同一被试多次测量。这种设计天然产生一个问题：各次测量之间的差异是否均匀？这就是球形假设要回答的事。

球形假设

任意两次测量条件之差值的方差都相等，是单变量重复测量ANOVA的前提

Mauchly检验

专门检验球形假设是否成立；p<.05 则拒绝，即球形不成立

G-G校正

用ε调整自由度；ε越小于1，校正越强，结果越保守

H-F校正

同样基于ε，但补偿了G-G的偏保守；样本小时更稳定

用不同尺子反复量同一本书对应 →球形假设

每把尺子两两测量之差的波动应接近，等同于方差齐

$\varepsilon \in \left[\frac{1}{k-1},\, 1\right]$，k为测量条件数

16第 16 页 · 球形检验与校正方法

重复测量分析实操步骤

从数据检查到结果报告的五步实操流程，每步都有判断门槛。

数据检查

看缺失值、异常值，画各时间点描述统计图

球形检验

用Mauchly检验判断各时间点方差-协方差是否齐

选择方法

满足用普通F；违反则用校正系数或转走MANOVA

效应与事后比较

读η²与偏η²，对时间点做事后多重比较

规范报告

写清检验统计量、自由度、效应量与校正方法

17第 17 页 · 重复测量分析实操步骤

核心知识回顾

✓维度上升：矩阵替换标量，自由度收紧
✓协方差矩阵统一了描述与推断的几何基础
✓单变量叠加不能替代多变量整体检验
✓数据结构（独立/配对/纵向）决定检验路径
✓违反假设时靠校正（GG/HF）或多变量兜底

延伸主题：判别分析与分类预测因子分析：降维与潜在结构

18第 18 页 · 核心知识回顾

课后思考

先合上屏幕想30秒，再看参考答案——重点是思路，不是标准答案。

1多变量分析为什么不能简单等同于"对每个变量各做一个单变量检验"？

参考答案多次单变量检验忽略变量间的相关结构，I类错误概率累积膨胀（族错误率>设定α）。多变量检验通过协方差矩阵整体建模，统一控制整体错误率。

25个相关结局变量、3个组、样本量50，你选什么方法？为什么？

参考答案首选MANOVA；若样本偏紧或变量高度相关，可先降维再做或用正则化判别；组间协方差结构异质时考虑稳健MANOVA。

3当变量数p接近甚至超过样本量n时，多变量检验会面临什么本质困难？

参考答案协方差矩阵奇异或病态，Wilks' Lambda等经典统计量分布假设失效；可走降维（PCA/PLS）、正则化协方差，或置换检验/贝叶斯等非参数路线。

19第 19 页 · 课后思考