数学大学
一阶微分的应用
多元微积分（先修课） · 第三章 多元函数的微分及其应用
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一阶微分的应用
多元微积分（先修课） · 第三章 多元函数的微分及其应用
多元可微函数的梯度
梯度是偏导数组成的向量：指向函数增长最快的方向。
定义
grad f = (f_x, f_y, f_z)
含义
模是最大变化率，方向是最陡上升方向
多元函数梯度的应用
梯度的两大应用：等值面法向量与最快上升方向。
等值面法向
梯度垂直于等值面，即法向量
下降法
沿负梯度方向迭代可求最小值
参数曲面的切平面与法向量
参数曲面上两个切向量张成切平面：叉积即法向量。
切向量
分别对两个参数求偏导得两条切线
法向量
两切向量的向量积即切平面法向量
空间曲线的切线与法平面
曲线的切向量定切线：与切线垂直的平面是法平面。
切向量
参数方程对参数求导得切向量
法平面
以切向量为法向量的平面
多元函数的近似计算与误差
全微分做线性近似：Δz ≈ dz，误差由二阶项控制。
近似公式
f(P₀+Δ) ≈ f(P₀) + f_xΔx + f_yΔy
误差传播
各测量误差乘偏导后合成总误差上界
本节要点
- ✓梯度指向最快上升方向
- ✓切平面法向量 = 两切向量叉积
- ✓全微分做近似与误差估计
延伸主题：求一个曲面在某点的切平面做一次误差传播估算
课后思考
先自己回答，再展开参考答案——能讲出来才算真懂。
1为什么梯度垂直于等值面？
参考答案沿等值面移动时函数值不变，方向导数为零，即梯度与该移动方向点积为零——梯度与面上一切方向垂直，自然就是法向量。这是「等值面 + 梯度」互推的根据。
2误差估计中「各误差乘偏导再相加」的依据是什么？
参考答案全微分把各输入的小增量线性映射到输出：Δz ≈ f_xΔx + f_yΔy。取绝对值相加得到最坏情况上界。偏导就是各误差通道的「放大系数」。
3参数曲面求法向量的两个偏导向量为什么恰好是切向量？
参考答案对参数 u、v 分别求偏导，描述的正是固定另一参数时点沿曲面移动的瞬时方向——这就是曲面上的两条切线方向。它们的叉积同时垂直于两者，即法向量。