多元函数的泰勒公式（以二元函数为例）
数学大学
多元函数的泰勒公式（以二
微积分——多元函数与重积分 · 第一章 多元函数微分学
按 空格/→ 演示下一步
全部页面点击任意一页，跳回舞台从这页播放
数学大学
多元函数的泰勒公式（以二
微积分——多元函数与重积分 · 第一章 多元函数微分学
二元函数有Peano型余项的T
二元泰勒：在点 (x₀,y₀) 附近用零阶、一阶、二阶多项式逼近函数。
展开结构
f₀ + 一阶项 + 二次型 + o(ρ²)
二次型
由海塞矩阵与增量向量构成
二元函数有Peano型余项的T
皮亚诺余项的用途：局部定性分析，特别是极值的二阶判别。
定性
二次型正定/负定/不定对应极小/极大/鞍点
记号
o(ρ²) 表示比距离平方更高阶的无穷小
二元函数带有Lagrange型余
拉格朗日余项版本：余项写成某中间点处的三阶导数值，可定量估误差。
余项形式
三点间某点的三阶方向导数乘 ρ³/3!
用途
给出明确的误差上界，用于数值近似
本节要点
- ✓二元泰勒：常数 + 线性 + 二次型
- ✓皮亚诺余项做定性极值判别
- ✓拉格朗日余项做定量误差估计
延伸主题：展开一个二元函数到二阶用余项估计一次近似误差
课后思考
先自己回答，再展开参考答案——能讲出来才算真懂。
1二元泰勒的二次型为什么由海塞矩阵决定极值类型？
参考答案在驻点处一阶项为零，函数增量近似为二次型 (1/2)ΔᵀHΔ：正定则四周全高（极小），负定则四周全低（极大），不定则有的方向升有的方向降（鞍点）。海塞矩阵的正定性是极值的判据。
2皮亚诺余项与拉格朗日余项的泰勒展开可以互相替代吗？
参考答案不能简单互替：皮亚诺余项只说明「余项比高阶无穷小更快消失」，适合极限与定性判断；拉格朗日余项给出用中间点导数表达的具体量，适合定量误差界。按用途选择形式。
3海塞矩阵正定如何快速判定？
参考答案顺序主子式全为正即正定（Sylvester 判据）；或看特征值全正。实际计算中常先配方：把二次型配成平方和，系数符号立现，正定性一目了然。