数学大学
高阶线性常系数微分方程
微积分——多元函数与重积分 · 第五章 常微分方程
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数学大学
高阶线性常系数微分方程
微积分——多元函数与重积分 · 第五章 常微分方程
视频5--17 二阶线性齐次
特征方程法：把 y″+py′+qy=0 翻译成代数方程 r²+pr+q=0。
代换
试解 y=e^{rx}，约去公因子得特征方程
根定解
根的情形决定通解的组合方式
n阶线性齐次微分方程的特
n 阶推广：特征方程 n 次，通解按根的类型拼装 n 项。
单根
每个单根贡献 C·e^{rx}
重根与复根
重根补幂次；复根 α±βi 给 e^{αx} 乘三角
线性齐次微分方程的特征法
特征法举例：从写出特征方程到组装通解的完整演示。
流程
写特征方程 → 求根 → 分型组装
自查
解的项数与重数总数应等于阶数
二阶线性常系数非齐次微分
待定系数法：按右端类型预设特解形状，代入定系数。
两大类型
多项式×指数与多项式×正余弦
通解
齐次通解 + 待定出的特解
二阶线性常系数非齐次微分
右端为多项式乘指数的例子：按指数次数设形并解出待定系数。
设形
同次多项式乘同指数 e^{αx}
定系数
代入方程比较同类项系数
二阶线性常系数非齐次微分
右端含正余弦时：用同频的余弦与正弦组合预设特解。
设形
多项式 × (A·cos + B·sin) 同频组合
共振修正
与齐次根重合时乘 x 升级设形
二阶线性常系数非齐次微分
正余弦右端例题：共振情形的完整求解演示。
共振识别
右端频率与特征复根相同时触发
解出
乘 x 后代入，比较定出待定系数
二阶线性常系数非齐次微分
常系数情形下常数变易的落地：基础解系就是 e^{r₁x} 与 e^{r₂x}，公式可以直接算。
基础解系
齐次通解已知，两个独立解直接代入公式
公式积分
u₁′、u₂′ 表达式含右端与指数函数，逐个积分
二阶线性微分方程的变动任
常数变易法：把齐次通解的常数换成待定函数求非齐次特解。
思想
C₁、C₂ 换成 u₁(x)、u₂(x)
定解条件
附加条件使方程组可解且不引入高阶导数
二阶线性微分方程的变动任
常数变易法的一般公式：特解由积分表达式直接给出。
公式
u₁′、u₂′ 由朗斯基与右端组成的行列式给出
适用
系数连续即可，比待定系数法更通用
欧拉方程
欧拉方程：x²y″+pxy′+qy=f(x)，用 x=eᵗ 化为常系数方程。
识别
各阶导数前系数是 x 幂次且次数匹配
代换
x=eᵗ 后导数降一阶化常系数
欧拉方程举例
欧拉方程例题：换元、解常系数、再回代三步完成。
流程
t=ln x 换元 → 解常系数方程 → 回代 x
验根
特征方程直接用 k(k−1)+pk+q
本节要点
- ✓特征法覆盖齐次：单根、重根、复根
- ✓待定系数两大类，共振乘 x
- ✓常数变易法通用，欧拉方程用 eᵗ 换元
延伸主题：完整解一道共振非齐次题解一个欧拉方程
课后思考
先自己回答，再展开参考答案——能讲出来才算真懂。
1待定系数法与常数变易法各适合什么场景？
参考答案右端是多项式、指数、正余弦及其乘积时待定系数最快——特解形状可预设；右端形态陌生或复杂时用常数变易，只要齐次通解已知就一定能积分算出特解。先看右端长相再选武器。
2共振情形（右端与齐次解重合）为什么要乘 x？
参考答案不乘 x 的预设特解代入左端会得到零（它本身是齐次解），方程无法成立；乘 x 后落在新空间，代入产生非零贡献。这与特征方程重根补 n·rⁿ 是同一种修补。
3欧拉方程为什么换元后一定变成常系数？
参考答案欧拉方程的系数每差一阶多一个 x 幂次，而 (x d/dx) 作用在 x^r 上恰给出 r·x^r——幂次被「吸收」为常数。x=eᵗ 把幂函数变成指数函数，x d/dx 变成 d/dt，常系数随之出现。