数学大学
第二类曲线积分
微积分——多元函数与重积分 · 第四章 向量分析
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第二类曲线积分
微积分——多元函数与重积分 · 第四章 向量分析
第二类曲线积分的引入
变力沿曲线做功：力在位移方向上的分量逐段累积，引出第二型曲线积分。
物理原型
W=∫F·dr，力点乘位移微元
与第一型之别
对坐标积分，与路径方向有关
第二类曲线积分的定义
定义：P dx + Q dy 沿曲线按指定方向累积，方向反转则变号。
有向性
交换起终点，积分值变号
向量形式
∫F·dr，F=(P,Q) 为向量场
第二类曲线积分的性质第二
性质：线性、可加，且反方向积分取负号——方向是它的身份。
方向性
∫_{L⁻} = −∫_L
可加
路径分段积分相加（同向）
第二类曲线积分的性质
计算方法：参数化代入，dx 与 dy 分别换成 x′dt、y′dt。
公式
∫(P dx + Q dy) = ∫[P x′+Q y′]dt
上下限
下限对应起点参数，上限对应终点
本节要点
- ✓物理原型：变力沿路径做功
- ✓有向积分，反向变号
- ✓参数化代入，限随起终点
延伸主题：算一次沿圆弧的做功验证方向反转变号
课后思考
先自己回答，再展开参考答案——能讲出来才算真懂。
1两类曲线积分的记号与本质差别是什么？
参考答案第一型对弧长 ds 积分（无向、标量场），第二型对坐标 dx、dy 积分（有向、向量场沿路径的做功）。二者由 ds 的方向余弦联系：dr 的分量 = 方向余弦 × ds。
2做功积分中 dx 与 dy 各自的贡献如何拆解？
参考答案力向量 F=(P,Q) 与位移微元 (dx,dy) 点积得 P·dx+Q·dy：P 沿水平位移做功、Q 沿竖直位移做功。参数化后 dx=x′dt、dy=y′dt，两份贡献合成一个定积分。
3什么信号提示应当使用格林公式而不是直接参数化？
参考答案当路径围成闭区域、且 P 对 y 与 Q 对 x 的偏导好算时，格林公式把闭路积分化为二重积分，常大幅简化。路径不闭时可补一段易算的线封口再用。