上一页我们看到正多面体能转着放回自身——这背后就是旋转对称。先从生活里找感觉：雪花转一下和原来一样，风车叶片每转 90° 看起来没变。数学上，这到底意味着什么？

有无反射面的本质区别

从五种正多面体出发，按旋转对称群阶数归类，分三档展示。

上一页讲到旋转会搬动多面体的面。但「搬动」具体怎么记？这就要用置换的轮换表示——给面编号，看它们怎么循环。

上一页我们把旋转写成点的循环；现在让每个旋转作用在所有颜色方案上：有的方案被转回原样，有的会被改变。

三步走流程：左列三步主干，右列展开第二步对每个旋转的固定着色计数。

Burnside 引理要逐元素算，元素一多就崩；用循环指标多项式把它压成一行式子。

用 Burnside 引理时，我们对每个旋转 g 只问：'涂完之后还认得出来吗？' Z(G) 把这个问题升级——它不只问认不认得，还把 g 内部'怎么循环的'完整记录下来。

把正四面体的 12 个旋转拆成循环结构，统计每个指纹各有几个。

对每个旋转算循环指纹，再用 Counter 按指纹聚合，立刻看到 {(3,1):8, (2,2):3, (1,1,1,1):1}——几何上三类旋转在代数上就是三类循环类型。

立方体的所有旋转按旋转轴所在位置分为四大类,每类对应若干种旋转。

立方体24种旋转不必逐一枚举，按轴类型分四类即可系统统计循环结构。

上一页把立方体24种旋转按共轭类分成了5组——这一页就给每组配上对应的循环结构项：次数乘以循环多项式，五项加和再除以24，Z(Cub)的完整多项式就落地了。

循环指标已经写好，最后一步就是把颜色数代入，把染色方案总数算出来。

立方体六个面用红、蓝两色染色，旋转后重合的视为同一种；按 Polya 计数，不同染色共有多少种？

从 12 种旋转分三类型，逐层看每类对顶点的循环结构，最后合并为循环指标。

对偶多面体群阶成对相等，但循环指标截然不同——这才是 Polya 染色差异的源头。

上页数出了立方体无约束染色方案。但现实常有附加条件——国旗对面同色、地图相邻异色。这些约束如何塞进 Polya 的统一框架？

上一节我们用循环指标算出了立方体三色染色的总数。但如果想精确知道「恰好2红1蓝」有多少种方案，就需要更细的工具——权函数。

前面用Polya算自由着色数很顺——每个面独立选色、互不干涉。但真实问题常带约束：相邻面不能同色、某些配色被禁用。这时候直接套公式就会算错。

先合上笔记给自己五分钟，想不清楚再看下面。