数学大学
多元函数的高阶可微性
多元微积分（先修课） · 第三章 多元函数的微分及其应用
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数学大学
多元函数的高阶可微性
多元微积分（先修课） · 第三章 多元函数的微分及其应用
高阶混合偏导数的克莱罗定
克莱罗定理：混合偏导连续时求导次序可交换，是交换求导的合法性依据。
定理内容
f_xy 与 f_yx 连续则在区域内相等
作用
免除逐个验证次序的负担
高阶可微性与高阶微分
二阶微分是微分的微分：d²z 中出现乘积系数组合。
二阶微分
d²z = f_xx dx² + 2f_xy dxdy + f_yy dy²
与泰勒联系
二阶微分是二阶泰勒展开的主部
多元函数的泰勒多项式展开
多元泰勒在一点的邻域展开：常数项加线性项加二次项。
展开结构
函数值 + 梯度·增量 + 二次型主部
用途
极值判定与数值近似的共同基础
多元函数的最值与极值
极值是局部概念，最值是全局概念：先找内部驻点，再比边界。
极值必要条件
内部极值点处梯度为零（驻点）
最值比较
驻点值与边界最值一起比较
多元函数极值的计算
二阶判别法：AC−B² 判定驻点是极小、极大还是鞍点。
判别量
A=f_xx，B=f_xy，C=f_yy
三种情形
AC−B²>0 且 A>0 极小；>0 且 A<0 极大；<0 鞍点
多元函数最值的计算
闭区域最值：内部驻点与边界最值全部算出后比较。
内部
求全部驻点的函数值
边界
边界代入化为单变量求最值
本节要点
- ✓克莱罗定理：混合偏导可换序
- ✓驻点用 AC−B² 判极值类型
- ✓最值 = 内部驻点 + 边界比较
延伸主题：判别三个驻点的类型求一次闭区域上的最值
课后思考
先自己回答，再展开参考答案——能讲出来才算真懂。
1鞍点为什么叫「鞍点」？它是最值吗？
参考答案马鞍形曲面在鞍点沿一个方向是极小、另一方向是极大，形似马鞍。它是驻点但不是极值——任何邻域内既有更大的点也有更小的点。
2应用题中求最值，为什么常常不需要判别 AC−B²？
参考答案应用问题的实际背景保证最值存在，而内部驻点通常只有一个。此时该驻点必是最值点，可直接下结论，判别式用于理论完整性。
3重特征值时克莱罗定理的条件还成立吗？
参考答案克莱罗定理要求混合偏导在该区域内连续，与特征值无关——这是多元函数本身的性质。只要二阶混合偏导连续，无论后续如何使用，交换次序都合法。