单元9：伯努利和泊松过程 Unit 9: Bernoulli and Pois
数学大学
单元9：伯努利和泊松过程
概率论——不确定性的科学 · 单元9：伯努利和泊松过程 Unit 9: Bernoulli and Poisson
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单元9：伯努利和泊松过程
概率论——不确定性的科学 · 单元9：伯努利和泊松过程 Unit 9: Bernoulli and Poisson
单元概述 Unit overview
本单元进入随机过程：伯努利过程与泊松过程是最基础的两类随机模型。
学习路线
伯努利过程打底，泊松过程做极限推广
核心问题
随机事件在时间轴上如何到达与累计
章节22：泊松过程 Lec. 2
泊松过程刻画随机到达：单位时间平均到达率 λ，任意区间内到达数服从泊松分布。
两个要素
独立增量 + 区间内到达数服从泊松分布
参数含义
λ 是单位时间内的平均到达次数
已经解决了的问题 Solved
习题课把概念落到计算：求概率、求期望、判断过程类型。
题型一
给定区间长与 λ，求到达次数的概率
题型二
合并与分裂过程后识别参数
附加的理论材料 Addition
延伸材料补充证明细节与推广：极限构造与更一般的到达过程。
构造视角
泊松过程可由伯努利过程细极限得到
推广方向
非齐次泊松过程允许 λ 随时间变化
本节要点
- ✓伯努利打底、泊松是极限推广
- ✓泊松过程：独立增量 + 泊松到达数
- ✓λ 是单位时间平均到达率
延伸主题：做课后习题前两题复习伯努利过程定义
课后思考
先自己回答，再展开参考答案——能讲出来才算真懂。
1为什么先学伯努利过程再学泊松过程？
参考答案伯努利过程在离散时间上数成功次数，最容易理解；把时间切成越来越细的小段、每段成功概率相应缩小，极限正是泊松过程。后者的一切性质都能从这条极限路线找到直觉。
2「独立增量」在直观上意味着什么？
参考答案互不相交时间段内的到达数互相独立：过去的到达密度不影响未来的到达概率。这是「无记忆」的过程特征，也是两类过程能被少数几个参数完全刻画的原因。
3泊松过程的「平稳增量」指什么？与独立增量什么关系？
参考答案平稳增量指区间内到达数的分布只依赖区间长度、不依赖起点（λ 处处相同）；独立增量指不相交区间的到达数互不影响。两者合起来才是标准泊松过程的完整刻画。