二次函数与一元二次方程

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✦ 二次函数与一元二次方程数学二次函数与一元二次方程二次函数

系数与根判别式韦达定理数形结合

二次函数与一元二次方程

从系数看根，从图像看方程，彻底打通两者关系

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系数与根判别式韦达定理数形结合

二次函数与一元二次方程

从系数看根，从图像看方程，彻底打通两者关系

1第 1 页 · 二次函数与一元二次方程

一元二次方程

上一页我们画出了抛物线，但如果把问题换一下——问「y 等于 0 时 x 是多少」——研究的对象就从函数变成了一元二次方程。

定义

含一个未知数，未知数最高次数为 2 的整式方程

一般形式

ax²+bx+c=0，其中 a、b、c 为常数

关键约束

a≠0，否则降次为一次或常数方程

与二次函数的关系

令 y=0，方程的解就是抛物线与 x 轴交点的横坐标

典型应用

求矩形边长、增长率、抛物落地时间等

天平称重对应 →方程两边相等

方程像天平，求 x 就是找让左右两边一样重的那块砝码

ax^2 + bx + c = 0, \quad a \neq 0

2第 2 页 · 一元二次方程

利用二次函数图象估计方程

前两页我们知道了：抛物线与 x 轴的交点就是方程的根。那如果暂时不会公式解法，怎么从图象上把根『读』出来？

交点即根

抛物线与 x 轴交点的横坐标，就是方程 ax²+bx+c=0 的根

估读靠刻度

坐标轴刻度越密、图象越精细，读出的根越接近真实值

判别式定个数

Δ>0 两交点，Δ=0 一切点，Δ<0 无交点、根不存在

适用与局限

适合快速估算或验证代数结果，但不能替代精确求解

温度计读室温对应 →图象估方程根

都靠刻度对照读近似值；都不是精确测量

ax^2+bx+c=0 \text{ 的根} = y=ax^2+bx+c \text{ 与 } x \text{ 轴交点的横坐标}

3第 3 页 · 利用二次函数图象估计方程

利用取平均数法逐步缩小根

上一页我们靠图象「看」出根的大致位置。但如果没有图象辅助、或者想把根估得更精确，有没有只用加减乘除就能一步步逼近根的办法？有——取平均数法，也叫二分法。

异号前提

找 a、b 使 f(a)·f(b)<0，即两端函数值异号，中间值定理保证中间必有一根

取中判断

算 m=(a+b)/2，看 f(m) 与 f(a) 还是 f(b) 同号，根就在另一侧那段区间里

每步折半

每操作一次，区间长度缩为一半；n 步后精度为 (b-a)/2ⁿ

普遍适用

只要求 f 连续且能算函数值，不必配方、不依赖求根公式

猜数字游戏对应 →取平均数缩根

「比 50 大吗？」「比 75 呢？」每次砍掉一半候选区间，逻辑完全一样

m=\frac{a+b}{2},\quad \text{n 步后区间宽度}=\frac{b-a}{2^{n}}

4第 4 页 · 利用取平均数法逐步缩小根

二次函数

上页我们用图象估根、用平分法逼近根——但根背后那条曲线本身的形状由谁决定？为什么一定有对称轴？这页回到二次函数本身，把骨架拆清楚。

标准形式

y=ax²+bx+c，a≠0，最高次数为2的整式

开口与a

a>0开口向上有最低点，a<0开口向下有最高点

顶点与对称轴

x=-b/2a 是对称轴，顶点是函数极值点

与方程的联系

令 y=0 即得一元二次方程，Δ 决定图象与 x 轴交点数

典型应用

抛体高度、利润最大化、拱形结构设计

投掷篮球的飞行轨迹对应 →二次函数图象

出手高度对应 c，飞行轨迹是抛物线，最高点是顶点

x_{顶点}=-\dfrac{b}{2a},\quad y_{顶点}=\dfrac{4ac-b^2}{4a}

5第 5 页 · 二次函数

二次函数与一元二次方程的

前面用图象估根、用平均值缩范围，做的其实是同一件事——找抛物线落在 x 轴上的位置。今天把这层关系讲透：方程和函数，本质上是同一枚硬币的两面。

根就是零点

方程的根 = 函数 y=ax²+bx+c 图象与 x 轴交点的横坐标

判别式 Δ

Δ=b²-4ac：>0 两交点两根，=0 相切一根，<0 无实根

数形互译

代数算不动的看图，图形估不准的代数算，两边互为翻译

硬币的正反面对应 →二次函数与一元二次方程

正面是函数视角给x问y，反面是方程视角让y=0反求x，同一对象的两种问法

\Delta = b^{2} - 4ac

6第 6 页 · 二次函数与一元二次方程的

二次函数图象与 x 轴的位

上页我们看到，二次函数图象与一元二次方程通过「交点」建立联系。那交点有几个、在哪，直接由抛物线和x轴的位置决定。这背后有个简洁的判别工具——判别式Δ。

三种位置关系

抛物线与x轴可相交、相切、相离，分别对应2个、1个、0个公共点

判别式Δ

Δ = b² - 4ac，正、零、负恰好对应相交、相切、相离三种情况

交点即根

交点的横坐标就是方程ax²+bx+c=0的实数根，几何与代数互通

免解判根

不用求根公式，只算Δ符号就能判断根的个数与是否相等

反求参数

已知位置关系可列Δ的范围，不解方程也能求参数的取值范围

拱桥与河面对应 →抛物线与x轴

拱桥=抛物线，河面=x轴；桥脚插水=两交点，桥顶擦水=相切，桥悬空=相离

\Delta = b^2 - 4ac \quad \begin{cases} \Delta > 0 \Rightarrow \text{两异根} \\ \Delta = 0 \Rightarrow \text{两等根} \\ \Delta < 0 \Rightarrow \text{无实根} \end{cases}

7第 7 页 · 二次函数图象与 x 轴的位

二次函数的最大值与最小值

你已经知道抛物线有开口向上和向下两种样子。这页要追问：抛物线'顶端'或'底端'到底在哪儿？那个点的 y 值，就是我们说的最大值或最小值。

开口方向决定极值类型

a>0 抛物线开口向上，存在最小值；a<0 开口向下，存在最大值

顶点即最值点

顶点横坐标 -b/2a，纵坐标就是函数的最值

最值公式

代入顶点横坐标化简得最值 (4ac-b²)/4a

最值是优化问题的核心

最大利润、最小成本、最大面积等问题都归结于求最值

山谷与山峰对应 →抛物线的最小值与最大值

山谷谷底对应 a>0 的最小值点，山峰峰顶对应 a<0 的最大值点

y_{\min/\max}=\dfrac{4ac-b^{2}}{4a}

8第 8 页 · 二次函数的最大值与最小值

本节要点

✓方程的根 = 抛物线与 x 轴交点的横坐标
✓Δ 决定交点个数：>0 两个，=0 相切，<0 无交点
✓取中点迭代基于零点存在定理，不依赖求根公式
✓对称轴 x=-b/2a 处取极值，开口方向定大小
✓方程视角找解，函数视角看变化，二者互补

延伸主题：一元二次不等式韦达定理与根的关系参数对图像的影响

9第 9 页 · 本节要点

课后思考

先合上参考答案自己想——三题分别检验核心、应用与迁移。

1为什么 ax²+bx+c=0 的根一定等于 y=ax²+bx+c 图象与 x 轴交点的横坐标？反过来的对应也完美成立吗？

参考答案方程的根就是使 y=0 的 x 值；图象与 x 轴交点处 y 也等于 0。两边本质上是同一个等式的不同视角，反向同样成立。

2若抛物线 y=ax²+bx+c 顶点在 x 轴上方，方程 ax²+bx+c=0 的根有什么特征？反过来还成立吗？

参考答案顶点在 x 轴上方 ⇒ 抛物线整体不与 x 轴相交 ⇒ 判别式 b²-4ac < 0 ⇒ 方程无实数根。反向也成立。

3取平均数法的核心思想是什么？它能否推广到三次方程 x³-2x-1=0 的近似根？

参考答案本质是夹逼：把根夹在两个越来越近的数之间。三次方程也能用，只是要先估好上下界，再不断取平均缩小区间。

10第 10 页 · 课后思考