数学大学
空间向量及其运算
多元微积分（先修课） · 第一章 空间解析几何与向量代数
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空间向量及其运算
多元微积分（先修课） · 第一章 空间解析几何与向量代数
向量及其几何表示
向量既有大小又有方向：几何上用带箭头的有向线段表示。
两要素
模长表大小，箭头表方向
相等向量
同向等长的向量视为同一向量
向量的代数表示
向量用坐标分量表示：几何运算全部化为分量运算。
坐标分量
a=(a₁,a₂,a₃)，沿三条坐标轴分解
模长公式
|a|=√(a₁²+a₂²+a₃²)
向量的数量积
数量积得到一个数：a·b=|a||b|cosθ，度量投影与夹角。
坐标公式
a·b=a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃
垂直判据
a·b=0 即两向量垂直
数量积的应用
数量积的两类应用：求夹角与算投影，力学中就是做功公式。
求夹角
cosθ = a·b ÷ (|a||b|)
物理对应
恒力做功 W=F·s 就是数量积
平面方程及其应用
平面的法向量定方向：点法式一写，平面方程就出来了。
点法式
n·(r−r₀)=0，n 为法向量
一般式
Ax+By+Cz+D=0，系数即法向量
向量的向量积
向量积 a×b 得到一个新向量：垂直于 a、b 所在平面，模等于平行四边形面积。
方向
右手定则，从 a 到 b 的右手螺旋
平行判据
a×b=0 ⇔ 两向量平行
向量积的应用
向量积求法向量与面积：立体几何与物理力矩的核心工具。
求法向量
平面上两个向量作向量积得法向量
求面积
|a×b| 即以 a、b 为邻边的平行四边形面积
本节要点
- ✓向量坐标化，运算全变代数
- ✓数量积出数：夹角与垂直
- ✓向量积出向量：法向量与面积
- ✓点法式一写平面方程即得
延伸主题：算一次两平面夹角用向量积求三角形面积
课后思考
先自己回答，再展开参考答案——能讲出来才算真懂。
1数量积与向量积为什么一个出数、一个出向量？
参考答案数量积刻画「对齐程度」，是标量，天然用于夹角与投影；向量积刻画「旋转面上的正交方向」，必须用向量表达。两者从不同侧面刻画两向量的关系，用途互补。
2为什么求平面方程的关键是找法向量？
参考答案平面由「过一点 + 垂直一个方向」唯一确定，法向量正是这个方向。只要找到两个与平面平行的向量作向量积，法向量即得，点法式一步写出方程。
3三个向量何时共面？
参考答案存在不全为零的实数使三向量线性组合为零，等价于混合积 (a×b)·c=0。共面性判断在线性相关与立体几何中都很常用。