数轴上右边的数更大——这是直觉。但写证明光凭直觉不够:能不能把'谁大'翻译成代数判据?答案是把比较换成减法,只看差的符号。

上节我们整理了实数大小关系的三种基本事实：大、小、相等。要判定两个数到底属于哪种，思路很多，但多数都要分类讨论。差值法的厉害之处，是把这三种判定压成同一个运算。

上一节我们用差值法比较大小,核心动作是把 a-b 平方以去掉符号。这一节追问:为什么平方一定非负?(a-b)² 与完全平方公式之间,究竟是怎样的内在联系?

上次我们看到「平方差非负」这类恒等式——它是恒成立的。但要解含未知数的等式，必须学会主动变形，且保证变形前后等价。今天第一招：等式两边同加减同一个数，为什么天然安全？

上节用天平想明白了同加减——挪走多少，另一边也得挪走多少。这次升级：两边各挂同样的砝码（乘），或把两边都切成等份（除），平衡还在吗？这里藏着最经典的坑——零。

中心向外辐射：第一层五条基本性质，第二层合并为同加减与同乘除，第三层是对称性、传递性等推导性质。虚线表示等价与边界。

等式性质的逻辑图已经画完，把等号换成 '<' 或 '>'，五条核心性质的轮廓就出现了——它们是后续不等式变换的规矩。

两边做同样操作，等式纹丝不动，不等式却可能翻车——关键在方向与零。

前页讲了等式两边乘除要避开零；可一旦乘的是负数，不等号就要翻——这背后不是死记的规则，是数轴的几何动作。

用公理层层推，五条性质如何从正数封闭性严格长出来。

上一页我们用严格证明把五条性质钉死，但考场上不考证明——拿到一个含参不等式，三步变形里你要选对顺序、踩准边界。这一页收束：如何把五条性质排成一条不踩雷的变形链。

把实际问题翻译成不等式，分五步走，每一步都有它不可省的理由。

差比较法解不等式分四步：移项、作差、判符号、写得解，缺一不可。

已知 a < b，下列变形中**必然**成立的是？

• ✓等式性质保留等号，不等式性质需判方向——加减自由，乘除看正负
• ✓运算保序性是底层支柱：正数乘正数为正，负数乘正数为负
• ✓零是分水岭——同乘含字母的式子必须讨论零、正、负三种情况
• ✓平方非负性用'差≥0'打通等式与不等式，这就是差值法的根据
• ✓把'多于''不超过'翻译为不等号，是本单元的应用题基本功

先凭直觉想三分钟，再翻答案核对思路。三个问题，三个层次：回顾、应用、迁移。