一元二次方程

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✦ 一元二次方程数学一元二次方程常数项
方程求解几何直观代数推导韦达定理

一元二次方程

看清方程根的几何图像，搞懂判别式与韦达定理为何成立

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方程求解几何直观代数推导韦达定理

一元二次方程

看清方程根的几何图像，搞懂判别式与韦达定理为何成立

1第 1 页 · 一元二次方程

一元二次方程

你把球往上一抛，它飞上去再落下来——这条轨迹就是抛物线。要问「球多高落地」「几秒着地」，列出来的方程就是一元二次方程的样子。

一元：一个未知数
只含一个未知数 x，与二元、多元方程的区分就在这里
二次：最高次为 2
未知数最高出现 x²，没有 x³ 或更高次项
标准形式
ax²+bx+c=0，a、b、c 是已知实数系数，且 a≠0（否则降级为一次方程）
三个系数各司其职
a 决定抛物线开口方向，Δ=b²-4ac 决定根的个数与位置
抛出的篮球轨迹对应 →抛物线方程 y=ax²+bx+c

球在空中的每一刻对应曲线上一点；y=0 就是球落地的瞬间——也就是求方程的根

y=ax2+bx+cΔ=b2−4acy = ax^2 + bx + c \quad \Delta = b^2 - 4ac
2第 2 页 · 一元二次方程

化简与整理方程

你已经知道什么是一元二次方程了，可考题里它常以 2x²−3=5x+4 这种「混搭」面目出现。要解它，得先收拾干净——这页讲怎么把方程整理成标准形式。

标准形式
ax²+bx+c=0，a≠0，所有项集中到左边按降幂排列
移项变号
项从等号一边移到另一边时，符号必须改变
合并同类项
x²与x²合、x与x合、常数与常数合
关键检验
整理完确认 a≠0，否则就不是一元二次方程
收拾凌乱的桌面对应 →整理方程为标准形式

桌面乱影响做事，方程乱影响求解；先归位再动手，效率才高

3第 3 页 · 化简与整理方程

一元二次方程的一般形式

上一页我们把方程「收拾干净」——去括号、移项、合并同类项。所有一元二次方程收拾完后，都会露出同一个「标准长相」，这就是一般形式。

一般形式
ax² + bx + c = 0（a≠0），化简后所有一元二次方程都长这样
「一元」含义
只出现一个未知数 x，不能混入 y、z 等其他字母
「二次」含义
未知数最高次幂为 2，必须含 x² 那项
a、b、c 三角色
a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项
a≠0 是硬条件
若 a=0，x² 项消失，方程退化为一元一次，不再「二次」
体检表的固定栏目对应 →一元二次方程的一般形式

身高、体重、血压是固定栏目，具体数值因人而异；a、b、c 是固定槽位，具体系数因方程而异

ax2+bx+c=0(a≠0)ax^2 + bx + c = 0 \quad (a \neq 0)
4第 4 页 · 一元二次方程的一般形式

二次项系数

上一页我们把方程整理成了 ax²+bx+c=0 的一般形式。这页把镜头拉近，专门看 x² 前面的 a——它只有一个字母，却是方程能否称为「二次」的命门。

定义
在一般形式 ax²+bx+c=0 中，x² 前面的系数 a 就是二次项系数
硬性约束
必须 a≠0，否则 x² 项消失，方程降为一次或更低，不再是「二次」
几何意义
决定抛物线 y=ax²+bx+c 开口方向：a>0 朝上，a<0 朝下
影响陡峭度
|a| 越大，抛物线越窄，y 随 x 变化越剧烈
弹簧的劲度系数 k对应 →二次项系数 a

k 决定弹簧硬度与弹力方向，a 决定抛物线宽窄与开口方向；k=0 弹簧失效无力，a=0 方程降次

5第 5 页 · 二次项系数

一次项系数

上一页我们认识了二次项系数 a——它是站在最高位的 x² 的'倍数'。沿着 ax²+bx+c=0 从左往右读,现在轮到中间这位:坐在 x 前面、带着正负号的 b。

身份与位置
在 ax²+bx+c=0 中,b 是 x 项的系数,即 bx 中 x 前面的那个数。
取值自由
b 可为任意实数:正、负、零都行;b=0 时方程退化为 ax²+c=0。
决定对称轴
抛物线对称轴为 x=-b/(2a),b 与 a 联手决定顶点偏左还是偏右。
连着两根之和
韦达定理告诉我们,两根之和 x₁+x₂=-b/a,b 掌控着根的总和。
汽车的油门与方向盘对应 →二次项系数 a 与一次项系数 b

a 像油门管抛物线胖瘦,b 像方向盘和 a 一起决定顶点偏左还是偏右、偏多远。

x=−b2a,x1+x2=−bax = -\dfrac{b}{2a},\quad x_1+x_2 = -\dfrac{b}{a}
6第 6 页 · 一次项系数

常数项

认识了二次项系数 a 和一次项系数 b，方程 ax²+bx+c=0 里还剩一位'纹丝不动'的角色——它不带 x，永远守在原地。它是谁？在图像中又站在哪里？

定义
方程 ax²+bx+c=0 中不含未知数 x 的项，记作 c
几何意义
x=0 时函数值就是 c，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标
符号规则
c 前的正负号要照搬到一般形式，整理时不能漏
c=0 的情形
方程退化为 ax²+bx=0，必有根 x=0，可提 x 因式分解
大楼的固定地基对应 →常数项 c

楼层(x²)和房间(bx)会随设计变化，地基(c)永远是那个高度——它决定整栋楼从哪儿起步

y=ax2+bx+c,x=0⇒y=cy=ax^2+bx+c,\quad x=0\Rightarrow y=c
7第 7 页 · 常数项

方程的根（解）

解方程 x²-5x+6=0 时，我们得到 x=2 或 x=3。为什么偏偏是这两个数？把它们代回去，左右两边恰好相等。这种让方程成立的「特殊值」，就是方程的根。

根的定义
使方程左右两边相等的未知数的值
代入验证
把候选值代回原方程，看等式是否成立
根与解
实质相同；「根」偏代数术语，「解」更口语化
至多两根
一元二次方程最多有 2 个根（重根算 1 个）
天平找平衡对应 →方程两边相等

未知数是砝码，让天平刚好平的那个重量，就是根

若 x0 是 ax2+bx+c=0 的根，则 ax02+bx0+c=0\text{若 } x_0 \text{ 是 } ax^2+bx+c=0 \text{ 的根，则 } ax_0^2+bx_0+c=0
8第 8 页 · 方程的根（解）

本节要点

  • ✓化简的最终目的是让 ax²+bx+c=0 的结构浮现
  • ✓a、b、c 各对应一项，位置错则方程变
  • ✓判根只能代入原方程验证，不能由形式直接读出
  • ✓标准形式是后续求根公式、判别式等工具的入口
延伸主题：求根公式的推导与使用判别式与根的个数韦达定理：根与系数的关系
9第 9 页 · 本节要点

课后思考

先合上书自己想一会儿，再对照参考答案看思路。每题都没有标准答案，关键是思考的过程。

1为什么一元二次方程 ax²+bx+c=0 必须要求 a≠0？a=0 的时候会变成什么？

参考答案a≠0 是定义的硬性条件；a=0 时方程退化为一次方程 bx+c=0，「二次」无从谈起。

2生活中哪些问题可以用一元二次方程建模？挑一个具体例子，说说你的列方程过程。

参考答案比如矩形围栏问题：长 x、宽 10-x 的面积 S=x(10-x)，令 S=24 即得方程。建模的关键是找等量关系。

3把 a、b、c 放到复数域里考虑，方程 ax²+bx+c=0 的根会有什么不同？

参考答案复数域里判别式 b²-4ac<0 仍有两个共轭复数根，不再「无解」；但根与系数的关系（韦达定理）依然成立。

10第 10 页 · 课后思考