数学大学
三重积分
微积分——多元函数与重积分 · 第三章重积分
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三重积分
微积分——多元函数与重积分 · 第三章重积分
三重积分的引入
占有空间区域、密度不均的物体求质量：三重积分的物理原型。
分割
区域切成小块，每块近似均匀
求和取极限
Σρ·ΔV 的极限即物体总质量
三重积分的定义
三重积分 = 空间分割、采样、求和、取极限，与二重积分同构。
定义式
lim Σf(ξᵢ,ηᵢ,ζᵢ)ΔVᵢ
性质
线性、可加、保序全部平移过来
三重积分的性质
性质照抄二重积分：对称性、估值不等式与中值定理仍成立。
奇偶对称
区域与函数奇偶匹配时积分为零或减半
中值定理
连续函数积分等于某点值乘体积
直角坐标系
直角坐标下先一后二或先二后一，两种化累次方式。
先一后二
穿线定 z 限，投影区域再算二重积分
先二后一
水平截面面积已知时最省力
三重积分的计算：例题(1)
例题一：穿线法定 z 限，投影区域用二重积分完成。
定穿线
从下曲面进、上曲面出
投影
曲面交线在 xy 面的投影即区域边界
三重积分的计算：例题(2)
例题二：被积函数只含 z 时用截面法，一步算出面积函数。
截面面积
D(z) 的面积乘 f(z) 再沿 z 积分
适用
截面易算且函数不含 x、y
空间坐标变换
三重积分的一般换元：体积元按雅可比行列式缩放。
雅可比
dxdydz = |J|·dudvdw
条件
变换一一对应且 J 在区域内不变号
空间柱坐标系
柱坐标 = 极坐标加高度：x=r·cosθ, y=r·sinθ, z=z。
体积元
dV = r·dr·dθ·dz
适用
圆柱形区域与绕轴对称的函数
空间柱坐标系例题(1)
柱坐标例一：圆柱域上的积分化为 θ、r、z 的三次定积分。
定限
θ 转一圈，r 到柱面半径，z 沿高度
简化
x²+y² 项化为 r²，被积函数变简单
空间柱坐标系例题(2)
柱坐标例二：抛物面与平面围成的区域求体积。
求投影
两曲面相交的投影定 r、θ 范围
算体积
高度差作为被积函数积分
球坐标系
球坐标 (r,φ,θ)：r 半径、φ 天顶角、θ 方位角。
体积元
dV = r²·sinφ·dr·dφ·dθ
适用
球形区域、含 x²+y²+z² 的被积函数
球坐标系例题
球坐标例题：球域上的积分化为三个一元积分的累次。
定限
r 到球面半径，φ 0 到 π，θ 转整圈
计算
sinφ 的积分与 r 的幂函数积分都简单
本节要点
- ✓三重积分物理原型是变密度质量
- ✓穿线法与截面法两条化累次路线
- ✓柱坐标体积元 r·dr·dθ·dz
- ✓球坐标体积元 r²·sinφ·dr·dφ·dθ
延伸主题：用柱坐标算一个圆柱域积分用球坐标算一个球域积分
课后思考
先自己回答，再展开参考答案——能讲出来才算真懂。
1什么时候选「先二后一」而不是「先一后二」？
参考答案当水平截面 D(z) 是圆或规则图形、被积函数只含 z（或不依赖 x,y）时，先二后一仅需一个截面面积公式，计算量骤减。竖直穿线限复杂而上下面简单时则用先一后二。
2球坐标体积元里的 sinφ 从哪来？
参考答案天顶角方向的微元弧长是 r·dφ，方位角方向的微元弧长是 r·sinφ·dθ（纬线圈半径随 φ 缩短），加上 r 方向 dr，三者相乘即得 r²·sinφ。sinφ 正是纬度收缩因子。
3柱坐标与球坐标如何取舍？
参考答案看对称轴与形状：圆柱、抛物面围成的区域用柱坐标；球体、锥体、含 x²+y²+z² 的用球坐标。判断口诀——绕轴对称选柱，向心对称选球。