-函数 Lecture 4 - Functions

官官方信息技术老师·10 页·深入（追求细节与边界）·0 次浏览·3 天前

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函数作用域闭包高阶函数

-函数 Lecture 4 - Functi

看清函数不只是代码段：从映射、参数传递到闭包的完整运行图谱

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函数作用域闭包高阶函数

-函数 Lecture 4 - Functi

看清函数不只是代码段：从映射、参数传递到闭包的完整运行图谱

1第 1 页 · -函数 Lecture 4 - Functi

Lecture 4 Introduction

你已经写过无数个函数——def f(x): return x*2，输入 3 永远返回 6。现在要把这种直觉上升为严格定义，看清它的边界。

严格定义

X×Y 的子集，每个 x∈X 恰对应唯一的 y∈Y

记号与三要素

f: X→Y；X 定义域，Y 陪域，f(X)⊆Y 值域

良定义性

全+单值：每个 x 有像且唯一；一对多被禁止

与关系的边界

函数 ⊊ 关系；缺全或缺单值的就不是函数

哈希表对应 →函数

同一 key 永远映射到同一 value；不同 key 可撞同槽（允许多对一）

\forall x \in X,\ \exists!\, y \in Y,\ (x,y) \in f

2第 2 页 · Lecture 4 Introduction

Creating Functions

你已经会写顺序执行的代码了，但同一段逻辑要反复用怎么办？就像你需要一份可重复使用的菜谱——这就要创建函数。

函数声明

用 function 关键字 + 名字声明，整体被提升到作用域顶部

函数表达式

把函数（匿名或命名）赋给变量，仅变量声明被提升

箭头函数

=> 简写语法，不绑定自己的 this，也没有 arguments 对象

提升差异

声明整体提升；表达式与箭头只能在赋值后调用

写一份菜谱对应 →定义函数

菜谱写一次可反复做菜，函数定义一次可反复调用

3第 3 页 · Creating Functions

Environments

我们写出了函数,但解释器到底怎么知道每个名字指向哪个值?Environments 就是那张「名字→值」的对照表,负责求值时的簿记。

环境 = 帧 + 父指针

一帧是当前作用域下名字到值的绑定,父指针指向外层环境,二者合起来就是一个环境

全局环境

所有顶层定义的落点,是最外层的帧,没有父指针(或父指针为空)

每次调用新建一帧

调用函数时为这次调用的形参与局部变量新建一帧,挂在函数的定义环境之下

查找沿链向外

遇到名字先查当前帧,没找到就沿父指针走到外层环境,直到全局环境为止

嵌套办公室门牌对应 →嵌套环境链

进子房间只看本房间门牌;找不到就探头看父房间,直到最外层门厅

4第 4 页 · Environments

Computing Powers as an E

前面学了怎么定义函数、环境怎么记录绑定。现在用一个经典例子——算 x 的 n 次方——看一个函数定义里究竟藏着什么。

问题：求 xⁿ

输入底数 x 与非负整数 n，输出 x 的 n 次幂

三种解法递进

朴素连乘 → 线性递归 → 快速幂 (x²)^(n/2)

函数封装过程

调用方只看到输入输出；内部怎么算由函数定义负责

同结果不同过程

线性递归与对数递归步数相差几个数量级，却符合同一规格

菜谱对应 →函数定义

菜谱里藏着步骤，函数定义里藏着递归过程；吃饭的人和调用方都只看到最终结果

x^n = \begin{cases} 1 & n=0 \\ x \cdot x^{n-1} & n\text{ 奇} \\ (x^2)^{n/2} & n\text{ 偶} \end{cases}

5第 5 页 · Computing Powers as an E

Understanding Variable B

上一页我们看到环境是一张「名字→值」的查找表。那这张表里的条目究竟怎么来的？函数被调用时，参数名怎么就跟具体值绑上了？这一页拆解「绑定」这个动作本身。

绑定是什么

把符号和值用环境条目关联起来，建立一对一对应

何时发生

函数调用时形参绑实参；let/define 求值时名字绑表达式结果

存活期

绑定随所在环境存活；环境消亡，绑定随之消失

词法作用域

自由变量沿词法嵌套向外找最近绑定，而非调用现场

遮蔽

内层同名绑定屏蔽外层；外层仍在，只是暂时不可见

剧本角色名绑定演员对应 →变量绑定

角色名（变量）只在该场戏（作用域）内指代该演员（值）；场景结束绑定解除；嵌套场可重绑同名角色

6第 6 页 · Understanding Variable B

Understanding Root Findi

前几页我们写了各种函数：为什么还要专门写函数？最直白的答案之一，是把像「求根」这种反复要做的计算，封装成可复用的黑盒。

根的定义

使 f(x)=0 成立的 x 值，又称零点

几何意义

函数图像与 x 轴交点的横坐标

解析 vs 数值

能公式求解就解析；否则用数值迭代逼近

常见数值法

二分法（稳）、牛顿法（快但要导数）、割线法

应用与陷阱

用于解方程、求交点、找平衡；但可能不收敛、多根、初值敏感

调水温对应 →求根迭代

理想温度对应 f(x)=0；每试一次水温就是一次迭代评估

x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}

7第 7 页 · Understanding Root Findi

Modules

函数写多了，一个文件装不下——power()、root()、几十个工具散落各处。模块（module）就是把工具分门别类装进抽屉的方式，让代码可组织、可复用、可按需取用。

模块即文件

任何 .py 文件就是一个模块，文件名即模块名

三种导入

import m、from m import f、from m import f as g

命名空间

模块自带独立命名空间，避免名字冲突

__main__ 守卫

if __name__=='__main__' 让文件既能跑也能被导入

搜索路径

Python 按 sys.path 顺序查找模块，先缓存后磁盘

工具箱对应 →模块

整个箱子=模块；单个工具=函数；拎箱或挑工具=不同导入方式

8第 8 页 · Modules

本节要点

✓函数是一等公民：可作参数、返回值与数据结构元素
✓环境帧随调用压栈，形参在其中绑定实参值
✓名字是绑定而非容器，赋值即重新指向
✓嵌套函数捕获外层变量名，构成闭包
✓模块是命名空间，导入仅引入绑定名

延伸主题：Lambda 与高阶函数装饰器与函数包装生成器与惰性求值

9第 9 页 · 本节要点

课后思考

先自己想，再展开参考答案对照思路。

1函数体里写 `x = 5` 和函数体外面写 `x = 5`，两个 `x` 是同一个东西吗？

参考答案不是。函数体里的 `x = 5` 创建的是局部 frame 的绑定；外面的 `x = 5` 改的是当前 frame（通常是全局）。两个 x 分属不同 frame。

2如果对同一个函数名 `f` 连续 def 两次，函数体不一样，调 `f()` 时跑哪个？

参考答案后 def 的覆盖前面的——名字在当前 environment 里只指向最新绑定。这和普通变量重新赋值完全同构。

3在 A 模块 `def f()`，B 里 `from A import f` 后再改 A.f，B 里的 f 会变吗？

参考答案不会。`from A import f` 在那一刻把函数对象绑到 B 的 f 名字上，之后 A 里改名或重新 def 都不影响 B 已持有的引用。

10第 10 页 · 课后思考