数学基础知识（Math basics for circuits）

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复数线性代数微分方程

电路中的数学基础

从复数到微分方程,打通电路分析所需的全部数学工具

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复数线性代数微分方程

电路中的数学基础

从复数到微分方程,打通电路分析所需的全部数学工具

1第 1 页 · 电路中的数学基础

变量与基本运算

上页我们谈了电路分析需要的数学工具。但数学里的 x、y 是纯粹的数，电路里的变量是带物理意义的——有单位、有方向、有正负约定。这一页把这些说清楚。

电路变量
U、I、R、P、t 等物理量，随电路状态变化
单位与量纲
V、A、Ω、W、s；1 kΩ = 1000 Ω，换算不能丢
参考方向
先任意假设方向，正负号决定实际方向是否一致
运算规则
加减乘除皆成立，但 KCL/KVL 是守恒律约束下的加减
边界与正负
变量可正可负可为零；零≠不存在，负≠反向流动
银行收支记账对应 →电路变量与参考方向

账户余额有正有负，负数表示『欠的钱』而非反方向存入；负电压同理代表参考方向相反

U=IRU = IR
2第 2 页 · 变量与基本运算

线性方程组求解

用代入法和消元法解电路方程组，是把电路拓扑翻译成数学、再反向解出电压电流的过程。

1
列方程
对每个独立回路用KVL，每个节点用KCL，写出关于电压电流的线性方程组
2
代入法
挑一个变量系数为1的方程解出它，代入其他方程逐个消去未知量
3
消元法
方程乘系数后相加减，消去一个变量；重复直到只剩一个未知数
4
回代验证
从最后一个变量倒推求出全部，再代回KVL/KCL检查一致性
3第 3 页 · 线性方程组求解

三角函数回顾

解方程时未知数是固定值，但交流电压随时间来回摆动。要描述这种摆动，得回到三角函数本身——它本质上描述的就是旋转。

单位圆
以原点为圆心、半径为 1 的圆，是三角函数的几何舞台
sin 是纵坐标
圆周上一点到 x 轴的竖直高度，就是该角度的 sin 值
cos 是横坐标
同一参考点向 y 轴投影的水平距离，就是 cos 值
相位角 θ
θ 决定点在圆上的位置，从而决定 sin、cos 的具体取值
勾股恒等式
sin²θ + cos²θ = 1，三角函数自洽性的几何来源
钟表指针绕圆心转对应 →单位圆上角度变化

指针指向的角度就是相位角，指尖的横纵坐标就是 cos 与 sin

sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1
4第 4 页 · 三角函数回顾

相量表示法

上一页我们用三角函数把正弦量写成 Vm cos(ωt+φ)。但电路里所有电压电流都是正弦量，方程中 sin、cos 反复出现，求导积分特别繁琐。有没有办法绕过这些三角函数？这就要请出相量。

旋转向量
把正弦波看作一根匀速旋转的箭头，在纵轴上的影子随时间的变化
复数表示
用模长记幅值、用辐角记初相，正弦量被压缩成一个复数
隐去时间
约定一个公共角频率 ω，时间 t 不再写进式子里
微分变乘法
对正弦量求导，相量只需乘 jω，微分方程化为代数方程
钟表指针对应 →相量

指针匀速转一圈=正弦一周期；指针长=幅值，初始角=初相

v(t)=Vmcos⁡(ωt+φ)  ⟷  V˙=Vm∠φv(t)=V_m\cos(\omega t+\varphi)\;\longleftrightarrow\;\dot{V}=V_m\angle\varphi
5第 5 页 · 相量表示法

复数基础

上页讲相量要同时记录『大小』和『初相』，相当于一个既有长度又有方向的量。两个信息怎么打包进一个代数符号？这就要请出复数。

直角坐标 a + bj
实部 a 在横轴、虚部 b 在纵轴，加起来写成 a + bj
极坐标 r∠θ
模长 r 是到原点的距离，辐角 θ 是与实轴正方向的夹角
两种形式等价
同一个复数，既能写成 a+bj，也能写成 r∠θ
电路实例：阻抗 Z
Z = R + jX（直角）也写作 |Z|∠φ（极坐标），两种都在用
地图上标注一个地点对应 →复数的两种坐标

经纬度像直角坐标 a+bj；『距离+方位』像极坐标 r∠θ，描述的是同一个点

r=a2+b2, θ=arctan⁡ba;a=rcos⁡θ, b=rsin⁡θr=\sqrt{a^2+b^2},\ \theta=\arctan\frac{b}{a};\quad a=r\cos\theta,\ b=r\sin\theta
6第 6 页 · 复数基础

复数四则运算

上一页复数是平面上的点，加上运算它就有了「动作」——加减是平移，乘除是旋转与缩放。这正是相量法能摆脱三角恒等式繁琐推导的核心。

加法（矢量求和）
(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i，按平行四边形对角线相加，几何动作是平移
减法（矢量差）
(a+bi)-(c+di) 是从 c+di 指向 a+bi 的矢量，等于加一个反向矢量
乘法（旋转+缩放）
模长相乘、辐角相加，本质是对 z1 先按 |z2| 缩放，再绕原点旋转 θ2
除法（旋转+缩放逆）
模长相除、辐角相减，是乘法的逆过程，把 z1 缩放 1/|z2| 倍并旋转 -θ2
相机拉近+旋转对应 →复数乘法

拉近控制模长（缩放），旋转改变辐角（指向），一次乘法就是这两个动作同步执行

z1z2=∣z1∣∣z2∣ej(θ1+θ2),z1z2=∣z1∣∣z2∣ej(θ1−θ2)z_1 z_2 = |z_1||z_2| e^{j(\theta_1+\theta_2)}, \quad \frac{z_1}{z_2} = \frac{|z_1|}{|z_2|} e^{j(\theta_1-\theta_2)}
7第 7 页 · 复数四则运算

相量的复数运算

左右两条路分别展示复数代数相加与向量几何合成，最后殊途同归于合成相量。

图解渲染中…
sum：复数加法：实部与实部相加，虚部与虚部相加tip：向量加法的几何规则：把 B 的尾部接在 A 的头部
8第 8 页 · 相量的复数运算

导数的物理意义

你已经熟悉'平均速度'——一段路程除以一段时间。但裁判想知道'此刻'你跑多快，需要的就不再是平均，而是瞬时变化率。

平均变化率
两点之间 Δy/Δx，看的是一段区间里的整体快慢
瞬时变化率
Δt→0 时 Δy/Δx 的极限，即导数 df/dt
切线斜率
函数图像在某点处切线的倾斜程度，几何上等价于该点导数
电路中的导数
i=C·dv/dt、v=L·di/dt，变化快慢本身就是方程变量
汽车速度表对应 →位置对时间的瞬时变化率

速度表读的是'此刻'——对应位置函数在那一瞬间的导数

f′(t)=lim⁡Δt→0ΔfΔtf'(t)=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta f}{\Delta t}
9第 9 页 · 导数的物理意义

电容电感的VCR方程

上一页我们聊了导数——它描述「变化有多快」。VCR就是电压-电流关系。现在看电容和电感：它们和电阻不一样，电压电流不是同步的，而是通过变化率绑在一起。

电容的VCR
i = C·dv/dt：电流等于电容乘以电压变化率
电感的VCR
v = L·di/dt：电压等于电感乘以电流变化率
边界：直流稳态
电压电流恒定时导数为零，电容开路、电感短路
向水槽注水对应 →电容充放电

进水流量（i）= 水槽截面积（C）× 水位上升速度（dv/dt）

i=Cdvdt,v=Ldidti = C\frac{dv}{dt},\quad v = L\frac{di}{dt}
10第 10 页 · 电容电感的VCR方程

微分关系图解

从导数这个根节点出发，分叉到电容与电感两支，看 V-I 的对偶关系。

图解渲染中…
a：导数即变化率，是这张图的源头b1：电容本构：i 由电压的导数决定c1：电感本构：v 由电流的导数决定b3：电容隔直流的物理来源
11第 11 页 · 微分关系图解

积分的物理意义

上一页我们看到导数描述变化的快慢——电流是电荷的变化率。反过来问：知道变化率，怎么还原出总量？这就是积分要做的事。

微元累加
把无穷多个微小量加起来得到总量，积分本质是求和的极限
面积意义
几何上等于函数曲线与横轴围成的有向面积，正负对应横轴上下方
与导数互逆
若F的导数是f，则F是f的原函数，微积分基本定理连接两者
电路实例
电荷q(t)=∫i(τ)dτ，电容电压v_C=(1/C)∫i(τ)dτ
向水池注水对应 →积分的累加过程

瞬时流量对应f(t)，累积的水量对应积分，水位上升就是面积越堆越多

∫abf(x) dx=lim⁡Δx→0∑if(xi) Δx\int_{a}^{b} f(x)\,dx = \lim_{\Delta x \to 0}\sum_{i} f(x_i)\,\Delta x
12第 12 页 · 积分的物理意义

能量与功率积分

上一页我们讲了积分的物理意义——累积。电路里最典型的累积量就是能量：功率告诉你此刻的'水流速度'，积分则把每一刻的速度加起来，给你从开机到现在电池里总共存了多少。

瞬时功率
任一时刻吸收或释放的功率：p(t)=v(t)·i(t)，可正可负
能量=功率积分
一段时间内累积的能量：W=∫p(t)dt，从过去到现在
电感储能
状态量：W_L=½Li²，只看此刻电流，与充放路径无关
电容储能
状态量：W_C=½Cv²，只看此刻电压，与充放路径无关
给水桶接水管对应 →电路储能积分

功率=水流速度(瞬时)，能量=桶里总水量(累积)；速度可为负(水回流)，桶里水量也能减少

W(t)=∫−∞tv(τ)i(τ)dτW(t)=\int_{-\infty}^{t} v(\tau)i(\tau)d\tau
13第 13 页 · 能量与功率积分

矩阵基础回顾

上节手写线性方程组时，未知数一多 x₁、x₂ 的下标就开始打架；矩阵就是把每条方程的系数按行按列整齐排成的数表，写电路方程时几乎离不开它。

矩阵与维度
按行列排列的矩形数表；m×n 表示 m 行 n 列，记为矩阵的维度
加减与数乘
加减必须同形，对应位置逐元素运算；数乘 k·A 即每个元素都乘 k
矩阵乘法
左行 × 右列：A_m×n·B_n×p=C_m×p，cᵢⱼ=Σₖ aᵢₖ·bₖⱼ
转置与单位阵
Aᵀ 行变列、列变行；单位阵 E 是矩阵乘法的 1，满足 E·A = A
Excel 表格对应 →矩阵

行号对应行索引，列号对应列索引；单元格 A₁₃ 就是矩阵第 (1,3) 个元素

Am×n⋅Bn×p=Cm×p,cij=∑k=1naik bkjA_{m \times n} \cdot B_{n \times p} = C_{m \times p}, \quad c_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik}\, b_{kj}
14第 14 页 · 矩阵基础回顾

克莱姆法则

上一页我们用矩阵写下电路方程组 Ax=b，但要算出每个电流电压，要么矩阵求逆、要么高斯消元——计算量都不小。能不能只关心某一个变量、绕开整体求逆？克莱姆法则说：可以。

核心思想
把每个未知数表示成两个行列式的比值，绕开矩阵求逆
求解公式
x_i = D_i / D，D 是系数矩阵的行列式
唯一解条件
D ≠ 0，否则方程无解或有无穷多解
求解步骤
算 D → 把 b 替换第 i 列算 D_i → 相除
使用边界
变量超过 3~4 个时计算量爆炸，应改用 LU 分解或高斯消元
只打开某一间房对应 →克莱姆法则

总门禁破解整栋楼（矩阵求逆），克莱姆只换一间房的锁芯（替换第 i 列），算出行列式比值

xi=det⁡(Ai)det⁡(A)x_i = \dfrac{\det(A_i)}{\det(A)}
15第 15 页 · 克莱姆法则

高斯消元法

克莱姆法则算 N×N 方程组代价太大，高斯消元法才是工程上真正用的求解流程。

1
列增广矩阵
把线性方程组写成 [A|b] 的形式，行对应对方程，列对应对变量
2
前向消元
逐列用行变换把主元下方元素消成 0，最终得到上三角矩阵
3
回代求解
从最后一行开始向上代入，每行只需解一个未知量
4
选主元策略
每步消元前选最大元素做主元，必要时换行，避免除零和数值失稳
16第 16 页 · 高斯消元法

一阶微分方程

RC/RL电路的响应方程

一阶微分方程
RC/RL电路的响应方程
17第 17 页 · 一阶微分方程

二阶微分方程

一阶RC或RL电路只有一个储能元件，列出的微分方程是一阶的。RLC串联同时含L和C，KVL列出的方程自然升到二阶。

二阶方程的来源
L与C同时存在，电压电流的二阶导数进入方程
标准形式
x″+2αx′+ω₀²x=0，α为阻尼系数，ω₀为无阻尼固有频率
特征方程法
设x=e^(st)，化为s²+2αs+ω₀²=0代数方程求根
三种阻尼情形
α>ω₀过阻尼、α=ω₀临界、α<ω₀欠阻尼振荡
弹簧-质量-阻尼器对应 →RLC串联电路

m↔L惯性、k↔1/C回复力、b↔R阻尼，三量一一对应

s2+2αs+ω02=0s^2 + 2\alpha s + \omega_0^2 = 0
18第 18 页 · 二阶微分方程

数学工具全景图

  • ✓相量是降维核心：三角微分方程转为复数乘法
  • ✓储能元件天然引入微积分，是动态电路入口
  • ✓矩阵统一线性方程组；克莱姆给闭式，高斯给过程
  • ✓一阶是二阶构件；叠加原理支持分层求解
  • ✓工具集共同目标：把电路问题翻译为可解代数式
延伸主题：拉普拉斯变换：统一瞬态与稳态分析傅里叶级数：周期信号的分解数值方法入门：非线性电路求解
19第 19 页 · 数学工具全景图

课后思考

带着问题继续深入探索

课后思考
带着问题继续深入探索
20第 20 页 · 课后思考