位置变化快慢的描述——速度

官官方物理老师·10 页·深入（追求细节与边界）·0 次浏览·3 天前

✦ 位置变化快慢的描述——速度物理位置变化快慢的描述——速度速度

运动学基础速度定义矢量性参考系

位置变化快慢的描述——速度

从 Δx/Δt 到 dv/dt，看清速度的矢量本质与极限定义

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运动学基础速度定义矢量性参考系

位置变化快慢的描述——速度

从 Δx/Δt 到 dv/dt，看清速度的矢量本质与极限定义

1第 1 页 · 位置变化快慢的描述——速度

借助图像分析运动规律

上一页我们用「快慢」定义了速度,但一串孤立数字看不出整体规律。把时间和位移、速度画进坐标系,整段运动就像按下快进键——每一刻的快慢、转折一目了然。

位移-时间图像

横轴t、纵轴x;直线斜率=速度,曲线=变速运动

速度-时间图像

横轴t、纵轴v;斜率=加速度,曲线下面积=位移

读图三件套

看轴(物理量)、看斜率(变化率)、看面积(累积量)

图像的边界与陷阱

图像≠运动轨迹;x-t图交点=相遇,v-t图交点=速度相等

跑步APP里的配速曲线对应 →速度-时间图像

横轴时间、纵轴速度,曲线起伏直接告诉你「哪段提速、哪段掉速」

v=\frac{\Delta x}{\Delta t}=\text{斜率}\;(x-t\text{图});\quad \Delta x=\int v\,dt=\text{面积}\;(v-t\text{图})

2第 2 页 · 借助图像分析运动规律

速度

上一页我们用图像直观看了位置变化的'快慢'——这一页要把它定义成一个精确的物理量。重点：它不只是个数字，背后还藏着一个方向。

定义

速度 = 位置变化量 Δx 除以所用时间 Δt，描述位置变化的快慢和方向

矢量性

速度是矢量：既有大小（多快），又有方向（往哪走），两者缺一不可

平均与瞬时

平均速度看整段过程，瞬时速度看某一刻；匀速时两者相等

参考系依赖

速度是相对的，地面和车上看同一物体结果不同

导航播报「80 km/h 向北」对应 →速度的大小+方向

数字告诉你多快，方向告诉你往哪走，两者合一才是速度

v = \dfrac{\Delta x}{\Delta t}

3第 3 页 · 速度

平均速度

上一页讲了速度——描述位置变化快慢。但现实很少一路匀速：汽车走走停停、起跑加速、刹车减速。那对这种时快时慢的运动，怎么讲整体快慢？这就要请出「平均速度」了。

定义

某段时间内位移 Δx 与所用时间 Δt 的比值

矢量性

平均速度是矢量，方向与该段位移方向相同

粗略性

只反映整体快慢，不刻画中间变化细节

不等于算术平均

平均速度 ≠ 各瞬时速度的算术平均（仅匀速时相等）

一趟完整出行对应 →平均速度

不管途中堵车还是畅通，看总路程÷总时间，反映「整体有多快」

\bar{v}=\dfrac{\Delta x}{\Delta t}

4第 4 页 · 平均速度

瞬时速度

前页的平均速度能概括一段运动的快慢，但汽车经过某个路标的瞬间，我们还想知道它“这一刻”有多快。瞬时速度回答的就是这个问题。

某一时刻的快慢

描述物体在某一瞬间的快慢，不是一段运动中的平均快慢

极限定义

让时间间隔趋近于零，平均速度的极限就是该时刻的瞬时速度

矢量方向

瞬时速度有方向，方向沿物体在该时刻的运动方向，大小表示快慢

图像判读

在位置—时间图像上，某时刻切线的斜率等于该时刻的瞬时速度

汽车经过路标时的仪表读数对应 →瞬时速度

仪表盘显示某一刻的快慢，图像切线斜率表示同一时刻位置变化的快慢

\displaystyle v(t_0)=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta x}{\Delta t}=\left.\frac{dx}{dt}\right|_{t=t_0}

5第 5 页 · 瞬时速度

速率

前页「瞬时速度」有方向，可汽车里程表、天气预报的「风速」都只看一个数——这就是「速率」。它到底和速度什么关系？

定义

路程与所用时间的比值 v=Δs/Δt，描述运动快慢

标量性质

只有大小、没有方向，正是初中「速度」的严格化

与瞬时速度

瞬时速率 = 瞬时速度的大小 |v⃗|，二者一一对应

与平均速度

平均速率按路程算，平均速度按位移算，曲线运动时往往不等

边界与应用

单方向直线运动时，平均速率 = |平均速度|；里程表、风速都是速率

汽车里程表对应 →速率

不管车头朝哪，里程表只把走过路径累加成数字——纯标量，无方向

\bar{v}=\frac{\Delta s}{\Delta t},\quad v=|\vec{v}|

6第 6 页 · 速率

速度—时间图像

上一节我们用位置—时间图像看运动，今天把纵轴换成速度——会看到完全不同的故事。

坐标轴含义

横轴时间 t、纵轴速度 v，点 (t,v) 描述该瞬时速度

斜率 = 加速度

图像切线斜率表示速度变化快慢，即加速度

面积 = 位移

图线与时间轴所围面积等于该段位移大小

典型图线

匀速为水平线，匀加速为倾斜直线，自由落体同样适用

汽车速度表随时间记录对应 →v-t 图像

横轴时刻纵轴速度读数，曲线下面积就是行驶距离

7第 7 页 · 速度—时间图像

位移传感器测速度原理

位移传感器测速度原理：背景、意义与延伸了解

位移传感器测速度原理

位移传感器测速度原理：背景、意义与延伸了解

8第 8 页 · 位移传感器测速度原理

本节要点

✓速度是矢量有方向，速率是标量只看大小
✓平均速度粗描整段运动，瞬时速度精确到某时刻
✓v-t图像下方面积等于位移，斜率反映加速度
✓位移传感器本质是 Δx/Δt 取极限，思路与瞬时速度同源
✓描述运动必须指明参考系，速度是相对的而非绝对的

延伸主题：加速度：速度变化的快慢匀变速直线运动的运动规律打点计时器与纸带的数据处理

9第 9 页 · 本节要点

课后思考

先合上页面独立思考，再翻看参考答案。

1为什么瞬时速度不能简单定义为「一小段位移除以一小段时间」？背后藏着什么数学思想？

参考答案无论间隔多短，除出来的仍是该段的平均速度。瞬时速度要靠极限思想——把时间间隔无限缩小，用位置对时间的变化率（即导数）来逼近。

2位移传感器以固定频率采样时，能否用相邻两点的位移差除以采样间隔来近似瞬时速度？什么条件下误差会显著变大？

参考答案可以，这是用平均速度逼近瞬时速度的常见近似法。但采样频率过低，或物体在间隔内加速度大、速度变化剧烈时，近似误差会显著增大。

3速率是标量，速度是矢量。汽车仪表盘只显示速率——在什么运动场景下，仅看速率会让我们丢失关键信息？

参考答案直线行驶时速率等于速度大小，方向信息丢失无妨。但曲线运动（过弯、绕圈）中，仅知速率无法描述方向，必须用速度矢量才能完整刻画运动。

10第 10 页 · 课后思考