圆周运动

官官方物理老师·10 页·深入（追求细节与边界）·0 次浏览·3 天前

✦ 圆周运动物理圆周运动周期

力学圆周运动向心力非惯性系

圆周运动

从 v=ωr 到非惯性系，每一张图都讲透一个关键细节

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力学圆周运动向心力非惯性系

圆周运动

从 v=ωr 到非惯性系，每一张图都讲透一个关键细节

1第 1 页 · 圆周运动

线速度

上一页我们认识了圆周运动——轨迹是一个圆。但物体每一瞬间究竟朝哪个方向运动？旋转的雨伞边缘,水滴被甩出时沿切线飞出,而不是沿伞柄方向。这个"飞"的方向与快慢,正是线速度要回答的问题。

定义

物体做圆周运动时的瞬时速度,方向沿圆周的切线

大小

等于单位时间内通过的弧长：v = Δs/Δt = 2πr/T

方向特征

始终垂直于该点的半径,指向运动前方

矢量边界

方向不断改变,匀速圆周运动本质上是变速运动

旋转雨伞上的水滴对应 →线速度沿切线方向

水滴沿切线飞出——这正是它原本要去的方向

v = \dfrac{\Delta s}{\Delta t} = \dfrac{2\pi r}{T}

2第 2 页 · 线速度

瞬时速度（在圆周运动中的

上一页的'线速度'只告诉我们转一圈的平均快慢。但质点在每一精确瞬间都有自己的速度和方向——这就是瞬时速度，它是矢量。

极限定义

极短时间 Δt 内位移与时间之比的极限值，描述某一精确时刻的速度

方向：沿切线

在圆周运动中始终沿该点的切线方向，随位置不断旋转

与平均速度的关系

Δt 越小，平均速度越逼近瞬时速度；整圈平均的方向无意义

大小：看是否匀速

匀速圆周运动中大小恒等于线速度；非匀速时大小随位置变化

时钟秒针对应 →圆周运动瞬时速度方向

12点位水平向右、3点位竖直向下——不同时刻切线方向都不同

v = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t} = \frac{d\vec{r}}{dt}

3第 3 页 · 瞬时速度（在圆周运动中的

匀速圆周运动

前面我们看到，圆周运动中速度方向沿切线时刻在变。那如果快慢不变、只拐弯呢？这就是「匀速圆周运动」——名字里有「匀」，但它其实是变速运动。

定义

相等时间内通过的弧长相等，即速率 |v| 不变，速度方向沿切线持续变化

是变速运动

速度是矢量，方向时刻在变，所以加速度 a≠0，属于变加速运动

典型场景

时钟指针、离心分离器转筒、游乐场旋转飞椅、地球公转近似

常见误区

「匀速」修饰的是速率大小（标量），不是速度（矢量），与匀速直线运动的「匀」含义不同

匀速绕圆形跑道跑步对应 →匀速圆周运动

步速稳定＝速率不变；每一步朝向都不同＝速度方向在变，所以有加速度

4第 4 页 · 匀速圆周运动

角速度

线速度回答“质点沿圆弧跑得多快”，但描述整根转轴还要用统一尺度：刚体绕固定轴转动时，各点角速度相同。由“单位时间转过多少角度”引出角速度。

定义

瞬时角速度是角位移对时间的变化率：ω=dθ/dt。

单位与方向

单位为 rad/s；rad 无量纲但通常保留。方向按右手定则确定。

恒定条件

角速度的大小和方向都保持不变，才是匀角速转动。

线速度关系

同一角速度下，v=ωR；距转轴越远，线速度越大。

周期换算

转一周对应 2π 弧度：ω=2π/T；60 r/min=2π rad/s。

钟表秒针对应 →角速度

秒针每秒扫过固定角度，对应恒定角速度；转一圈就是 2π 弧度。

\omega=\frac{d\theta}{dt},\qquad \vec v=\vec\omega\times\vec r,\qquad \omega=\frac{2\pi}{T}

5第 5 页 · 角速度

周期

上一页我们用角速度 ω 描述「一秒转过多少弧度」。但实际生活中我们更常问另一个问题：转一整圈到底要多久？这就是「周期」要回答的事。

周期 T 的定义

做圆周运动的质点每完成一整圈所用的时间，记作 T

T = 2π / ω

一圈对应 2π 弧度，除以每秒转过的弧度 ω，就是完成一圈的时间

T 与频率 f 互为倒数

f 是每秒转过的圈数（Hz），两者描述同一件事，单位刚好互逆

边界：T 恒定的前提

只有匀速圆周运动的 T 才是常数；变速时每圈用时不同，要说清平均还是瞬时

时钟的秒针对应 →周期 T

秒针每转一圈恰好 60 秒——这就是它的「周期」，把「转一圈多久」量化成一个数

T = \dfrac{2\pi}{\omega} = \dfrac{1}{f}

6第 6 页 · 周期

转速

上一页我们聊了周期 T——转一圈要多久。工厂老师傅不这么说，他只问「电机多少转？」。转速和周期是同一件事的两种问法，工程上转速反而更常用。

转速定义

单位时间内完成的圈数，符号 n 或 f，表示「转得多快」

与周期互为倒数

转一圈用时 T，转速 n = 1/T——只是把问法反了过来

与角速度的关系

一圈对应 2π 弧度，所以 ω = 2πn，n 是 ω 去掉 2π

常用单位

工程上用 rpm（revolutions per minute），即转/分钟

工程意义

电机、引擎、硬盘主轴都按转速标定，比角单位更贴近使用

钟表的秒针和时针对应 →转速大小的直观差异

秒针 1 转/分，时针 1 转/12 小时——同样在转，频次一眼能比

n = \dfrac{1}{T},\qquad \omega = 2\pi n

7第 7 页 · 转速

线速度与角速度的关系

前几页我们分别学了线速度和角速度：前者描述沿弧线走得多快，后者描述转过多大的角度。它们看似两件事，其实被半径紧紧绑在一起——一个变，另一个必然跟着变。今天就拆开这条纽带。

核心公式

v=ωr，线速度大小等于角速度乘以半径

角速度不变

r越大v越大；同张唱片外圈比内圈跑得快

线速度不变

r越大ω越小；同条链条上的大小齿轮转速不同

工程应用

链条传动、自行车变速、地球不同纬度的自转线速度

旋转喷泉对应 →v=ωr关系

所有水滴以同一角速度旋转，但外圈水滴要跑更长的弧，所以飞得更远更快

v = \omega r = \frac{2\pi r}{T} = 2\pi r n

8第 8 页 · 线速度与角速度的关系

本节要点

✓匀速圆周运动只是「速率不变」，速度方向每时每刻都在变
✓v=ωr 把转动统一为「走过多少弧长」与「转过多少角」
✓周期 T、频率 f、角速度 ω 描述同一件事，三者互为倒数或倍数
✓瞬时速度沿切线方向、与半径垂直——这是讨论受力时的几何前提

延伸主题：向心加速度的推导向心力与惯性离心力非匀速圆周运动（含切向加速度）

9第 9 页 · 本节要点

课后思考

三个开放性问题检验理解程度

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10第 10 页 · 课后思考