解一元一次方程(二)

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✦ 解一元一次方程(二)数学解一元一次方程(二)移项

一元一次方程等价变形去括号去分母

解一元一次方程(二)

看清移项、去括号、去分母每一步为何合法，搞定带括号和分数的复杂方程

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一元一次方程等价变形去括号去分母

解一元一次方程(二)

看清移项、去括号、去分母每一步为何合法，搞定带括号和分数的复杂方程

1第 1 页 · 解一元一次方程(二)

一元一次方程求解流程

方程写出来了，但怎么动手解？答案是有一套固定流程——五步走，从复杂到简单，把 x 单独留在等号一边。

去分母

方程两边同乘所有分母的最小公倍数，先消除分式

去括号

利用分配律把括号展开，括号前符号要带对

移项

含未知数的项移到左边，常数项移到右边（要变号）

合并同类项

同类项系数相加，把方程化为最简形式

系数化为1

两边同除以未知数的系数，得到 x = 结果

拆礼物包装对应 →方程五步化简

每步剥掉一层'干扰'，最里面就是 x

ax + b = 0 \Rightarrow x = -\frac{b}{a}

2第 2 页 · 一元一次方程求解流程

合并同类项

求解流程的「化简」这一步,其实就是合并同类项。3x + 2x + 5 看着乱,得先把同类的项归拢到一起,等式才变得干净,方便后面移项和系数化1。

一元一次方程

上一步我们合并了同类项，把方程梳理得更整齐。但一个方程凭什么叫做「一元一次方程」？光看长相还不够，得从里往外拆开看它的骨架。

「一元」一个未知数

整个式子里只能有一个字母代表未知量，通常用 x

「一次」最高次数为 1

未知数的指数最大是 1，不能出现 x²、x³ 等

方程形式

含等号，左右两边都必须是整式，分母里不能有未知数

标准形 ax+b=0

a≠0 是关键；若 a=0，退化为 b=0，不再是可解的方程

天平称重对应 →一元一次方程

等号像天平支点，左右必须等重才平衡；移项就是挪砝码，两边始终要平

ax + b = 0 \quad (a \neq 0)

4第 4 页 · 一元一次方程

移项

前面已经把同类项归拢；现在像整理两堆物品一样，把含未知数的项放到等号一边、常数项放到另一边，这一步就是移项。

移项的实质

把某项从等号一边换到另一边，实质是等式两边同加或同减同一个式子。

符号反转

换边时，+a 变为 -a，-a 变为 +a；含未知数的项也遵循同一规则。

典型应用

例：3x+5=2x+12；移项后得 x+5=12，再合并得 x=7。

解集不变

移项属于等价变形，所以移项前后方程的解集完全相同。

平衡的天平对应 →移项

以 2x 从右侧移到左侧为例：两边同时减去 2x，等号仍平衡。

3x+5=2x+12 \xrightarrow{-2x} x+5=12 \xrightarrow{-5} x=7

5第 5 页 · 移项

去括号

移项解决了「x 在哪边」的问题，可遇到 2(x+3) = 10 这种带括号的方程，光移项还不够——得先把括号拆开。这一步就是去括号。

本质是分配律

去括号不是独立规则，本质是 a(b+c)=ab+ac 的应用

负号=乘-1

-(b+c)=-b+(-c)=-b-c，每项符号都翻转

三种情形统一

括号前的 +、-、系数本质都是「分配一个系数」：+1、-1 或某数

典型易错点

漏乘系数（2(x+3) 写成 2x+3）；负号下只变第一项符号

快递箱对应 →去括号

外贴标签（+、-、数字）决定里面物品如何被处理：原样、翻转、复制

$$a(b+c) = ab+ac$$ $$-(b+c) = -b-c$$

6第 6 页 · 去括号

去分母

前页我们去掉了括号，但方程里还可能藏着分数——比如 x/2 + x/3 = 5。怎么解？关键是让分母「消失」，这就是去分母。

找最小公倍数

列出方程中所有分母，求出它们的最小公倍数 M

两边同乘 M

方程每一项都乘 M，没有分母的常数项也别漏

分子先展开

若分子含括号，按上页先去括号，再去分母

回归整式方程

去分母后按移项、合并的流程求解即可

切披萨凑整块对应 →去分母

不同分母像切成 2 块、3 块；找最小公倍数就是找到能让所有切法都整除的统一块数

\frac{x}{2} + \frac{x}{3} = 5 \xrightarrow{\times 6} 3x + 2x = 30 \Rightarrow x = 6

7第 7 页 · 去分母

系数化为1

前面经过移项、合并同类项，方程已经被化成了 ax=b 的样子。剩下的最后一步：把挡在 x 前面那个系数 a 去掉，让 x 自己站出来——这叫「系数化为1」。

操作方法

对 ax=b 形式两边同时除以 a，使 x 单独成一项

数学依据

等式性质 2：等式两边同除以同一个不为零的数，等式仍成立

关键前提

a 不可为 0；方程须化至左边只含 ax、右侧为常数的最简形态

典型形态

系数为负时别丢负号；分数系数要一次除净，再化简结果

3人小组共完成12道题对应 →ax=b 两边除以 a

人数对应系数 a，总数对应 b；求「每人做几道」就是把总份数 3 去掉，看 1 份是多少

ax=b\ (a\neq 0)\ \Rightarrow\ x=\frac{b}{a}

8第 8 页 · 系数化为1

本节要点

✓求解本质是化繁为简，把方程归为 x=a
✓每步变形都依赖等式性质，不是人为规定
✓去括号、去分母是'拆'，移项、合并、化1是'合'
✓先去分母再去括号，效率最高且不易出错
✓解出后代回原方程检验，闭环且能排错

延伸主题：二元一次方程组求解一元一次不等式分式方程的增根问题

9第 9 页 · 本节要点

课后思考

先独立思考再看提示，每题都值得花上几分钟。

1为什么移项要变号？如果不变号，方程会变成什么样？

参考答案移项本质是等式两边做同样的运算。不变号等于只移动了数字，原位置的项没被抵消，方程两边就不相等了。

2去括号时负号要变号，那括号前是乘除时该怎么处理？

参考答案括号前是乘除时要用分配律，把系数分配到每一项，不能简单变号。例如 2(x+3)=2x+6。

3如果对等式两边同时乘以 0，还能求出 x 吗？为什么？

参考答案不能。两边同乘 0 后等式变成 0=0，所有原信息都丢了，无法还原 x。所以乘除所用的数不能为 0。

10第 10 页 · 课后思考