数学大学
(第一部分绪论)：LST0系统
线性系统理论 · 第一周 (第一部分绪论)：LST0系统及其分类
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(第一部分绪论)：LST0系统
线性系统理论 · 第一周 (第一部分绪论)：LST0系统及其分类
线性系统理论的一个有趣应
线性系统理论应用无处不在：从音响均衡到航天控制，都是同一套数学。
广泛应用
滤波、控制、通信都建立在线性系统模型上
统一框架
不同物理系统可用相同的传递函数语言描述
系统的概念
系统是输入到输出的映射：给定输入，按自身规律产生输出。
输入输出
系统把激励加工成响应
框图语言
方框加箭头，聚焦关系不看内部细节
动态系统的分类
动态系统按线性、时变性、因果性等维度归类：每类有专属的分析工具。
分类维度
线性/非线性、定常/时变、因果/非因果
工具匹配
线性定常系统工具最完善，优先建模成这类
因果系统的状态
因果系统输出不超前输入：状态浓缩了过去历史，与当前输入共同决定未来。
因果性
输出只依赖当前与过去的输入
状态
状态是最少的一组变量，概括全部历史影响
线性系统和非线性系统
线性系统满足叠加原理：两输入分别作用的和等于共同作用。
叠加原理
齐次性加可加性，是线性的两块拼图
价值
线性才可分解、可叠加、可变换分析
定常系统和时变系统
定常系统参数不随时间变：今天做实验与明天结果一致。
定常性
输入延迟多少，输出同样延迟多少
时变系统
参数随时间变化，如火箭质量不断减小
非线性系统的线性化
非线性系统在工作点附近可以线性化近似：小信号下曲线当直线用。
泰勒展开
工作点附近取一阶项作线性模型
适用边界
偏离工作点太远，近似失效
系统分类自测
点击作答
「输入延迟 t₀，输出也延迟 t₀」描述的是系统的哪种性质？
时变系统的定常化
时变系统在足够短的时间窗内可当定常系统处理：冻结参数，分段分析。
参数冻结
短窗内认为参数近似不变
分段衔接
各窗分析结果按时间串联还原全貌
本节要点
- ✓系统 = 输入到输出的映射
- ✓叠加原理是线性系统的灵魂
- ✓因果性看先后，定常性看参数
- ✓非线性与时变都可分段线性化
延伸主题：判断几个系统的线性与时变性推导一个线性化实例
课后思考
先自己回答，再展开参考答案——能讲出来才算真懂。
1为什么工程分析偏爱把问题建模成线性定常系统？
参考答案线性带来叠加与分解，定常带来传递函数与频域分析——工具箱最齐全。大多数物理系统在工作点附近确实近似线性定常，这个建模假设以极小的失真换来了巨大的分析便利。
2因果系统的「状态」为什么能概括全部历史？
参考答案动态系统对未来响应的影响都经过内部变量的蓄积传递；取能完整决定未来演化的最少一组变量作为状态，历史信息就不必逐条保存——记住状态即记住历史。
3线性化的适用边界由什么决定？
参考答案由非线性函数在工作点附近的弯曲程度与允许误差决定：泰勒高阶项相对一阶项越小，线性化越准。大范围运动或强非线性区必须回到原非线性模型。