上一页我们看到 Polya 计数能剔除旋转带来的重复。要做这件事,前提是先严格界定:哪些操作算「让多面体回到自身」的合法旋转?这就要从数学上定义「旋转」本身。

上页划定了旋转多面体的范围。在它内部，对称性最高的一类——每个面、每条棱、每个顶点彼此等价——就是正多面体（柏拉图立体），世界上恰好五种，每种都自带一个固定的旋转对称群。

看图：从正多面体出发，展开到各旋转群的对称轴构成。

上一页看清了正多面体旋转群的阶与对称轴分布。这一页再下一层：每个具体旋转，到底把面搬到了哪？答案是——它把面集重新排了一遍。

由顶向下读：先看24个旋转按共轭类分成5组，再看每组在8顶点上的循环结构。

上一页我们把立方体旋转写成了面的置换——一个6×6的矩阵。但矩阵不便直接数不变染色。

求一个多面体的旋转群，按这五步走就能不重不漏。

上一页我们把每个旋转都拆成了循环。这页要做一件事：把这 24 份『循环报告』汇总成一张总表——对每种循环类型，统计它在全群中出现几次，最后除以群的大小。

从旋转群出发，五步得到循环指标多项式 Z(G)。

立方体24个旋转按轴类型分类，每类给出循环结构与个数，最终汇成循环指标。

Python计算多面体循环指标的核心算法

上一页我们把立方体旋转群写成了循环指标 Z——一堆带字母的代数式。现在追问：怎么把 Z 变成具体数字？比如，用 3 种颜色染 6 个面，本质不同的方案有几个？

从问题描述到最终计数，六步走完一遍完整染色计数流程。

两种方法在旋转多面体染色问题中的优劣

四面体、六面体、八面体的具体染色计数

立方体染色我们算得清清楚楚。但立方体是正多面体，旋转有 24 种。一般凸多面体呢？有的除恒等外一动就变形，也有的介于两者之间——关键是系统地把它找出来。

前几页我们让 Polya 大包大揽——任意面、任意色、相邻随意。但真实染色总有规矩：调色板只有 k 种颜色，相邻两面不能同色。这些约束把游戏彻底改写了。

正四面体旋转群的循环指标为 Z = (1/12)(x₁⁴ + 8x₁x₃ + 3x₂²)。用 3 种颜色染 4 个顶点，按 Polya 定理不同染色方案数是？

开放性问题：多面体旋转的深层结构与应用边界